因此，前述困境的解决方案是：物理意义不在于坐标微分，而仅在于其对应的黎曼度规。这样我们就建立了广义相对论的一个可行的基础。然而，仍有两个更深层的问题需要解决：
最简单的做法，当然是保留拉普拉斯引力标量势，用一个时间微分项以一种明显方法完成泊松方程，这种方法满足狭义相对论。引力场中的质点运动定律必须也满足狭义相对论。因为物体的惯性质量可能取决于引力势，这个方向未必那么清晰无误。事实上，考虑到能量的惯性原理，这也是理所当然的。
这与过去的经验事实不一致，过去人们认为在一个引力场中，所有物体的加速度相同。这条规律也可以表述为惯性质量和引力质量的等价定律，我当时意识到它有多重要。我为它的存在感到无比惊讶，并且猜测其中一定藏着通向深刻理解惯性和引力的钥匙。甚至在不知道厄缶[1]令人称赞的实验结果的情况下，我就确信这条定律是严格成立的；厄缶实验——如果我没记错的话——是我在后来才知道的。然后，我放弃了在狭义相对论的框架内用上述方法处理引力问题的无效尝试。它显然不能正确处理引力中最基本的性质。现在可以十分清晰地表述惯性质量与引力质量的等价原理：一个均匀引力场中发生的所有运动，与相对于在一个均匀加速却没有引力场的坐标系的运动是一样的。假设这个原理对任何事件都成立（即“等效原理”），它将意味着，如果要得到引力场的自然理论，我们需要把相对性原理推广到彼此非匀速运动的坐标系中。从1908到1911年，我一直思考这些想法，试图从它们那里得出特殊的结论，不过我不打算在这里讲。当时，重要的发现是合理的引力理论只能寄希望于相对性原理的推广。
1912—1914年，我和我的朋友格罗斯曼[2]研究过这些问题。我们发现，在里奇[3]和李维—奇维塔的绝对微积分学中，已经有了现成的解决问题的数学方法。
我当然知道马赫的观点。根据他的观点，似乎可以认为：惯性阻力阻碍的东西不是加速度本身，而是相对于世界上存在的其他物体质量的加速度。这个观点对我有点儿吸引力，但是它没法为新理论提供有用的基础。
从现有的知识看来，这项悦人的成就看起来简直是理所应当的，任何有才智的学生不用太费劲就能掌握它。但是多年来的强烈憧憬、在黑暗中焦虑的探求、信心和疲惫的交替，直到最后曙光出现——所有这些，唯有亲身经历过的人才能理解。
1. 如果场定律用狭义相对论来表示，那它怎么能转换成一种黎曼度规？
如果用非线性变换引进其他坐标，ds2仍是坐标微分的齐次函数，但是该函数的系数（guv）不再是常数，而变成坐标的特定函数。在数学术语中，这意味着物理（四维）空间是黎曼度规。该度规的类时极值线，给出了只受引力的质点运动定律。同时，该度规的系数（guv）描绘相对于所选坐标系的引力场。因此，我们找到了等效原理的一个自然的表述，无论等效原理推广到哪种引力场，都构成一个完美的自然假说。
[3] 里奇（Gregorio Ricci-Curbastro，1853—1925），意大利数学家，因在张量微积分领域的研究而闻名。——编译者注
[2] 马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann，1878—1936），爱因斯坦的大学同班同学，瑞士数学家，苏黎世联邦理工学院教授。——编译者注
2. 决定黎曼度量（即guv）的微分法则是什么？
关于问题2，解答它明显需要（从guv）构建二阶微分不变量。不久我们将看到，黎曼已经创立了这些（曲率张量）。广义相对论发表的前两年，我们已经在思考正确的引力场方程，但那时不知道如何在物理中应用它们。相反，我觉得它们违背了经验。此外，我觉得能从一般角度阐明：对任意坐标变换都不变的引力定律，与因果关系原理是矛盾的。这些思想错误浪费我两年极度辛苦的工作，直到1915年年底，我才最终认识到这些错误。在懊悔地返回黎曼曲率之后，我成功地把理论与天文学经验事实结合起来。
1905年，我通过狭义相对论证明了所有惯性系对自然规律形式来说都是等价的。在此之后，人类自然会问，不同坐标系是否在更进一步的意义上也是等价的。换句话说，既然速度的概念有了相对意义，我们还应该坚持把加速度当作一个绝对的概念吗？
我很高兴地答应你们的请求，来讲讲我自己有关科学工作的经历。并非是我夸大自己科学工作的重要性，而是因为人们书写他人工作的经历时，就要像训练有素的历史学家那样，在一定程度上吸收别人的想法；而要阐明自己的早先想法，似乎就容易得多。在这里，个人要比其他所有人都有巨大的优势，所以他不应该因为谦虚而放弃这个机会。
不久我看到，引入等效原理要求的非线性变换之后，就不可避免地摧毁了对坐标的简单物理解释；也就是说，人们不能再认为坐标的差异就应该是理想天平或时钟测量的直接结果。我对这一认知感到十分困扰，因为我花很久才看到坐标在物理中究竟有什么意义。直到1912年，我才通过下面的思考，找到了脱离这个困境的方法：
然而这些研究得到的结果，却引起了我强烈的怀疑。根据经典力学理论，物体在竖直引力场中的竖直加速度与速度的水平分量无关。因此，在这样一个引力场中，一个力学系统或其重心的垂直加速度与内部动能无关。但在我提出的理论中，落体的加速度与它的水平速度或者系统内的能量有关。
本文选自1934年德文版《我的世界观》。
因此，我们需要建构这样一种理论，它的方程形式在坐标系的非线性转换中保持不变。至于是任意（连续）坐标变换，还是仅仅一些特定变换，我目前还不知道。
从纯粹运动学观点看，毫无疑问，一切运动都是相对的；但是从物理学角度看，惯性系似乎有特别的位置，它使其他方式运动的坐标系显得不自然。
[1] 厄缶（Loránd Eötvös de Vásárosnamény，1848—1919），匈牙利物理学家。他今天之所以被人们记住，是因为他在引力和表面张力方面的工作，以及扭转摆（torsion pendulum）的发明。——编译者注
我们必须找到一种新的惯性定律的表述，如果坐标系是惯性系，在缺少“真实引力场”的情况下，这种表述就变成对惯性原理的伽利略表述。伽利略表述的意思是：一个不受力的质点，在四维空间中用一条直线表示；也就是说，用最短的线，或者更准确地说，用极值线表示。这个概念需要假设线性元素的长度的概念，就是说先要有一个度规。在狭义相对论中，正如闵可夫斯基所指出的，这个度规是一种类欧几里得标准，也就是说，线元的“长度”ds的平方，是坐标微分的某个二次函数。
当我试着在狭义相对论框架内处理引力定律时，第一次向这个问题的答案靠近了一步。像当时大多数理论家一样，我试图构建一个引力场理论，因为放弃了绝对同时性的概念，我不再可能，至少不再可能以任何自然的方式直接引入超距作用。
