把实用几何学概念外推到宇宙尺度的空间，似乎没有什么问题。当然，也会有反对意见，例如由实心杆组成的一种结构，其空间范围越大，就离理想的刚性越远。但是我想，这种反驳不会有什么根本意义。因此对我来说，宇宙空间是否有限这个问题，在实用几何学上看是一个十分有意义的问题。我甚至认为天文学家有可能不久就能解答这个问题。让我们回想一下广义相对论在这方面的结果吧。它提出了两种可能：
有一种反对意见认为，自然界中不存在真实的刚体，所以有关刚体的性质不能应用于物理实体。这个意见绝不像人们通过粗略观察所想象的那么深刻。因为要精确地确定测量物体的物理状态，使它对于其他测量物体来说，其性状足够清晰并可以代替“刚”体，其实并不困难。而有关这样的测量物体，其陈述是基于刚体的。
不仅是欧几里得实用几何学，还有它最直接的推广——黎曼实用几何学，以及相关广义相对论，都以这个假设为基础。我只提一个能证明这个假设的实验。真空中光传播现象为每一段当地时间设定了一个区域，即光的合适路径；反之亦然。因此上述的区域假设必定也适用于相对论中的时钟间隔。结果，可做如下明确表述：如果两只理想钟在任何时间与任何地点都走得一样快（当时二者是紧挨在一起的），那么无论何时何地再次把它们放在一起比较，二者永远都会走得一样快。如果这个规律对自然时钟无效，那么相同化学元素的不同原子具有的固有频率，就不会像经验证明的那样严格一致。尖锐谱线的存在，就是上述实用几何学原理的一个令人信服的实验证据。最终基于此，我们可以有意义地谈及四维时空连续统一体的黎曼度规。
这里提出的几何学的物理解释，确实不能直接应用于分子尺度以下空间。尽管如此，即使在基本粒子构造的问题上，它仍具有一定意义。因为即使是描述电的基本粒子组成问题，仍可以尝试赋予场概念以物理意义，这些场概念原本是为了描述与分子大小相当的物体的几何行为所做的物理定义。要求黎曼几何的基础概念在它们的物理定义范围之外仍然具有物理实在的意义，这一要求是否合理，只能根据其成败来判断。也许最后会发现，这种外推，和把温度概念扩展到分子量级的外推一样不合理。
但是有另一条路，在我看来更可行，尽管也有很大困难。在探究广义相对论的结论与牛顿理论结论的偏差的经验证据时，第一个发现的这样的偏差出现在靠近引力物质的地方，已被水星事件证实。但是如果宇宙是空间有限的，广义相对论和牛顿理论就会有另一个偏差，用牛顿理论的话就是：引力场不仅是由有重物质产生，而且还由空间中均匀分布的负质量密度产生。因为这个假想的质量密度必须非常小，所以只有在非常广大的引力系统中才能观测到。
这里就出现了一个谜，在过去的时间里一直激发着人类的好奇心。数学归根到底是独立于经验的人类思想的产物，它怎么会如此精妙地契合现实呢？那么，不凭经验仅靠思考的人类理性，能彻底了解真实事物的性质吗？
许多物理学家和天文学家没有注意这个论点。在上述分析中，只有经验能决定这两种可能性中的哪一种在自然界中是现实的。经验如何提供答案呢？首先，我们通过观察能看到的这部分宇宙，似乎可以确定物质的平均密度。但这一希望是不实际的，因为可见恒星的分布极其不规则，所以我们绝不敢说宇宙中的恒星物质的平均密度等于［比如说］银河系中的平均密度。在任何情况下，不管观测的空间有多大，我们都不能确信更远处没有更多恒星了。所以，估计平均密度看起来是不可能的。
爱因斯坦任职的普鲁士科学院成立于1700年，受到过腓特烈大帝（1712—1786）的慷慨资助。每逢腓特烈大帝生日，科学院都要举行学术研讨会。在1921年1月27日的纪念会上，爱因斯坦做了这一备受赞誉的演讲。
在这里，爱因斯坦做出了明确的区分：数学几何学和物理几何学。据爱因斯坦在布拉格的教席的继承者菲利普·弗兰克（Philipp Frank，1884—1966）教授判断，这一讲座“通过其明确的表述将秩序带入了经常出现混淆的领域，并且在某些情况下甚至在数学家和物理学家中仍占优势的混淆领域。从那以后，爱因斯坦的表述被认为是最清晰和最好的，即使哲学家也这样认为”。
与爱因斯坦交往密切的哲学家石里克（Moritz Schlick，1882—1936）在1918年出版了《普通认识论》。一年前，石里克在爱因斯坦的影响下发表了题为《空间与时间》（Raum und Zeit）的文章。
法国数学家亨利·庞加莱在1911与居里夫人一起大力推荐爱因斯坦从布拉格回到母校苏黎世联邦理工学院担任理论物理学教授。
本文倒数第二段提到的“已被水星事件所证实”一事，指的是针对1919年3月29日的日全食，英国组织的两次科学探险，一支到巴西北部，另一支到西非小岛普林西比。1952年2月25日的日全食，全世界有多支探险队带着精良设备和新的测量方法到苏丹（喀土穆）来验证光线的曲率。1916年，爱因斯坦计算出1.75秒弧光偏转。1919年5月29日，英国探险队的测量结果为1.64弧秒。1952年，科学家们以1.70秒的弧度接近爱因斯坦的计算值。从那时起，人们一直在测量这一数值。
以我之见，这个问题的答案简单来说就是：只要数学命题涉及实体，它们就是不可靠的；只要它们是可靠的，就不涉及实体。在我看来，只有沿着数学中被称为“公理学”（Axiomatik）的方向，人们才能普遍地完全清楚事物的这个状况。公理学取得的进步，在于巧妙地将逻辑—形式与其客观或直觉内容分开；根据公理学，逻辑—形式自己就足够形成数学的主题内容，而后者不涉及直觉或其他有关逻辑—形式的内容。
这样建立的几何学显然是一门自然科学；事实上，我们可以将它看作物理学最古老的分支。它的陈述本质上依赖经验归纳，而不仅是逻辑推理。我们称这样的几何学为“实用几何学”，接下来和“纯粹公理几何学”做区分。宇宙的实用几何学到底是不是欧几里得几何，这一问题有清楚的意义，并且只能由经验给出答案。如果一个人利用光沿直线传播的经验规律，而且这里的直线是实用几何学意义上的，那么物理中所有长度度量就在这个意义上构成了实用几何学，测地学和天文学的长度量度就是如此。
然而在另一方面，一般来说，数学，尤其是几何学的存在，肯定是因为人们需要了解实在对象的行为。几何学一词的原意是土地测量，就证明了这一点。因为土地测量与某些自然物体相互间的排列可能性有关，比如说土地、测量线、测量杖等等。很明显，公理几何学概念体系自身不能对这种实在对象（以后我们称之为实际刚体）的行为做出任何陈述。要做到这一点，几何学必须剥去它的单纯逻辑形式特征，把经验的实在对象与公理几何学空洞的概念联系起来。为此，我们只要增加这个命题：固体间可能的排列关系，就像三维欧几里得几何中的物体一样。这样，欧几里得的命题就包含了实际刚体行为的陈述。
我们暂时从这个角度思考几何学的任何一个公理，比如：两点之间有且仅有一条直线。过去和现在都是怎么解释这个公理的呢？
为什么庞加莱和其他研究者要摈弃（看起来天经地义的）实际刚体和几何主体的等效性呢？这不过是因为在进一步考察后，发现自然界的真正固体不是刚性的，它们的几何行为，即相对位置的可能性，取决于温度、外力等等。这似乎破坏了几何与物理实体之间原初的直接关系，使我们被迫接受下面的更普遍的观点，也就是庞加莱的立场：几何学（G）对真实事物的行为不能做任何论断，只有加上物理规律（P）才能。用符号来表示，我们可以说实验验证只能验证（G）+（P）的和。因此（G）可以任意选择，（P）的某些部分也一样；所有这些规律都是约定。为消除矛盾，必须要做的就是决定（P）里哪些是不能保留的，这样（P）的整体和（G）加起来就符合经验了。用这种方式看，公理几何学和自然规律已成为约定的部分在认识论意义上是等效的。
在我看来，从永恒的角度看（sub specie aeterni），庞加莱是正确的。相对论中量尺概念和与之协调的时钟概念，在真实世界中找不到精确的对应物。在物理学的概念体系中，固体和时钟扮演的角色也明显不是基本元素，它们有复合的结构，在理论物理中并非独立。但是我坚信，在理论物理发展的现阶段，仍然必须把它们当作独立概念使用；因为我们掌握的原子结构理论的基本原理的知识，远远不能在理论上从基本概念构造出固体和时钟。
实用几何学整体是基于一个经验易懂的原理。现在，我们将试着了解它。假设在一个实际刚体上有两个标记。我们称一对这样的标记为一个区域。我们想象两个实际刚体，每个上面都标有一个区域。如果一个区域的标记与另一个区域的永远一致，那么我们就说这两个区域是“互相等价”的。我们现在假设：
1. 宇宙是空间无限的。只有宇宙中集中在恒星上的物质的平均空间密度等于零，这才是可能的。这个条件换句话来说，就是随着考察的空间越来越大，恒星总质量与它们散布的空间体积之比趋于零。
2. 宇宙是空间有限的。如果宇宙中有重量的物质的平均密度不为零，宇宙空间必然有限。平均密度越小，宇宙体积越大。
现代公理学拥护这种公理观点，它净化掉一切和数学无关的因素，消除了以往围绕数学基础的神秘和晦涩。但是，这样的修正阐述也让人们明显看到：这样的数学本身不能做出任何有关我们的直觉对象或实在对象的预测。在公理几何学中，“点”“直线”等词语仅仅是空无一物的概念，数学不赋予它们内容。
过去的解释：每人都知道什么是直线，什么是点。这个知识的起源是人类思考的能力、经验、二者的结合，还是其他来源，这不是数学家能决定的，要留给哲学家去解决。上述公理以这种先于所有数学之前的知识作为自己的根据，它像其他所有公理一样，是不证自明的，就是说，它是先验知识的一个表达。
我必须指出，现有的一个理论推导，支持有限宇宙假说。广义相对论指出，一个物体附近的质量越大，其惯性就越大；因此人们很自然地将物体的总惯性归结为它和宇宙其他物体的相互作用，正像牛顿时代以来，重力已经完全归结为物体之间的相互作用一样。从广义相对论方程中，人们可以推出，只有在宇宙是空间有限的时候，才可能像马赫主张的那样，把惯性完全归结为物体之间的相互作用。
与其他所有科学相比，数学受到特别尊重的一个原因，在于它的命题绝对可靠、没有争议，而其他所有科学的命题在某种程度上都有争议，并且随时可能被新发现的事实推翻。尽管如此，如果数学命题涉及的对象仅存于想象之中，而非实在，那么其他科学部门的研究者就无须羡慕数学家。当人们已经就基础性命题（公理）以及由此推出其他命题的方法达成共识时，那么毫不奇怪，不同的人将得到相同的逻辑结论。但是数学声望崇高还有另一个原因，是它为精确自然科学提供了一定程度的确定性，离开数学就做不到这一点。
假设我们已知银河系中恒星的统计分布和质量，那么根据牛顿定律，我们能够计算出引力场和恒星必须具有多大的平均速度，才能使银河系维持自身现在的大小而不会因其恒星间的引力而坍缩。因为恒星的真实速度是可测的，如果它小于计算值，我们就证明了远距离的实际引力比牛顿定律计算出的要小。从这个偏差，我们就可以间接地证明宇宙是有限的，甚至可能估计出它的空间大小。
根据这里主张的观点，要知道这个连续统一体的结构是欧几里得的、黎曼的还是别的什么，是一个必须用经验来回答的物理问题，而不是仅依据权宜选择的约定。考察的时空范围维度越小，支配实际刚体的规律越接近欧几里得几何学中的定律，黎曼几何就越有效。
如果人们发现两个区域某时某地是等价的，那么它们无论何时何地都是等价的。
我特别强调我刚提出的几何学观点，因为没有它我就不能建立相对论，没有它我就不可能有下面的思考：在一个相对某惯性系旋转的参考系中，由于洛伦兹收缩，支配刚体的规律不符合欧几里得几何；因此，如果我们平等地承认非惯性系，就必须放弃欧几里得几何。没有上述理解，就不会迈出向广义协变方程过渡的决定性一步。如果我们摈弃公理学的欧几里得几何对象和现实的实际刚体之间的关系，就很容易得出下面的观点，也就是敏锐而深刻的思想者——庞加莱主张的观点：欧几里得几何之所以胜过所有其他可能的公理几何，是因为其简单性。现在，因为公理几何学本身不包含关于经验实在的陈述，除非同物理规律结合，所以无论实在的本质如何，保留欧几里得几何的做法都应该是可能与合理的。因为一旦理论和经验出现矛盾，我们宁可决定改变物理定律，也要保全公理学的欧几里得几何。如果人们拒绝承认真实的刚体与几何学的关系，就不能轻易放弃那种认为欧几里得几何学是最简单的习惯看法。
现在的解释：几何学探讨的是用线、点等表示的对象。人们仅仅设定公理的正确性，而不是这些对象相关的知识或直觉。这些公理，比如上述公理，就是一种纯粹形式意义上的，即没有任何直觉或经验的内容。这些公理是人类智力的自由创造。几何学中所有其他命题都是从这个公理中逻辑推理出的（仅是唯名论意义上）。公理明确了几何学探讨的对象。所以，石里克在他关于认识论的书中，十分恰当地将公理描绘为“隐定义”。
