[1] 出现这个现象是因为河底处流速减小。——编译者注
这样我们就说明了曲流的成因。此外，从这些事实中，我们不难推出其他一些细节。广泛的侵蚀作用，不仅是对右边的河壁，还有河底的右半部，因此将可能呈现出图5—6描绘的剖面。
众所周知，溪流总是蜿蜒向前，而不是沿坡度最大的直线流动。地理学家也很清楚，北半球河流主要侵蚀右岸，而南半球河流的表现则相反（贝尔定律）。人们已经做过许多尝试去解释这个现象，所以我不确定自己在这篇文章中提出的解释对专家来说是否有新意；我的一些思考肯定是已知的。然而，因为没有发现有谁彻底通晓其中的因果关系，所以我想可以在这里对其做一个简短的定性阐述。
两种情况下，速度下降的不对称性，都是一种循环运动间接造成的。我们接下来就看看这种循环运动。
首先必须清楚，冲击河岸的水流速度越大，或者说在岸边某处水流停止得越突然，侵蚀力就越强。不论是机械因素还是物理化学因素（土壤成分的分解）造成的侵蚀，这一规律在所有情况下都成立。所以，我们应当关注影响河壁处水速梯度的因素。
卡尔·恩斯特·冯·贝尔（Karl Ernst von Baer，1792—1876），爱沙尼亚动物学家和地理学家，被认为是动物科学发展史的奠基者。1860年，他在圣彼得堡发表了《论河床成型的一般规律》（Über ein allgemeines Gesetz in der Gestaltung der Flußbetten）一文，探讨了地球自转的偏转力对河床形成的影响。这就是以他名字命名的所谓的“贝尔定律”。
本文是爱因斯坦1926年1月7日在普鲁士科学院就贝尔定律所做的报告，发表于德文期刊《自然科学》（Vol. 14, 1926）。原标题为Die Ursache der Mäanderbildung der Flußläufe und des Baerschen Gesetzes，字面意义为“曲流河形成的原因及贝尔定律”。
作为开始，我要讲一个大家都能轻易重复的小实验。想象一个装满茶水的平底杯。因为茶叶比同体积的杯中液体更重，所以沉淀在底部。如果用勺搅拌茶水使之旋转，那茶叶将会很快聚集在茶杯底部中心。这个现象的解释如下：液体的旋转产生离心力，作用在液体上。如果液体像固体那样旋转，那么离心力本身不会引起液体流动的改变。但是，杯壁附近的液体会受到摩擦力的阻碍，因此其旋转角速度要小于更靠近中心的液体。尤其是杯底附近液体的角速度和离心力，都比其上方的液体小。结果将产生一种液体的环形运动，如图5—4所示；这种运动会持续增强，直到它在杯壁和杯底的摩擦力影响下趋于稳定。茶叶被这种环流扫到杯底中间，就是这种环流存在的证据。
[3] 出现这个现象是因为河壁处的摩擦。——编译者注
类似的事情还发生在弯曲的河流上（图5—5）。在河道每个转弯处的横截面上，都受到离心力作用，方向指向弯道外侧（从A到B）。由于受底部摩擦力，水速变小，所以底部附近的离心力小于其上方的离心力。这将引起如图所示的那种环形运动。即使河流没有转弯，地球自转也会产生图5—5所示的微弱环流。这是因为地球自转产生科里奥利力，作用在垂直河流的方向，使得单位质量液体上受到的向右水平分力大小为2vΩsinφ，其中v是河流速度，Ω是地球自转速度，φ是地理纬度。因为趋近底部时，河底摩擦力使科里奥利力减弱[1]，所以也引起图5—5所示的环流。
[2] 这里和之后的横截面速度指的都是水流向前的速度。——编译者注
初步的讨论之后，我们回到河流横截面上速度分布[2]的问题，这是侵蚀的关键因素。为此，我们必须先认识（湍流的）速度分布是怎样形成并稳定下来的。假设原先静止的水忽然受到均匀加速力开始运动，那么横截面速度的分布起初也是均匀的。在河壁摩擦力作用下，一段时间后，速度分布才能自发地形成从河壁向横截面中心逐渐增强的模式。要对已经形成的横截面速度的（大体上）稳定分布产生干扰，也只有在液体摩擦力作用下逐渐发展深入。
还有，表面的水来自左边河壁附近，因此，特别是在左边，它会比稍下方的水流动慢一些[3]。这点已经被实际观察到了。我们还注意到，这个环流具有惯性。所以，它在河流最弯曲处之后才达到最大，侵蚀的不对称性当然也是如此。因此在侵蚀过程中，曲流形成的波形线一定会沿河流方向增长。最后，河的横截面越大，摩擦力对环流的损耗吸收就越慢；所以，曲流形成的波形线将随着河流横截面增大而增长。
流体动力学所描绘的速度稳定分布的形成过程如下：某平面（势）流中，全部涡旋线集中在河壁上。它们自发地离开壁面，向河流横截面中心缓慢移动，分布在一个越来越厚的液体层中，因此河壁处流速梯度逐渐减小。在液体内摩擦力的作用下，横截面内部的涡旋线被逐渐吸收，但河壁上新形成的涡旋线会取代它们的位置，最后形成准稳态的速度分布。对于我们来说很重要的是，实现稳定的速度分布是一个缓慢的过程。所以，即使相对不重要的作用力，只要能持续起作用，就会对横截面速度分布产生很大影响。现在让我们考虑由于河水转弯或科里奥利力产生的环流（如图5—5所示），对河流横截面速度分布会产生什么样的影响。运动最快的液体粒子离河壁最远，它们处于河底中心上方。环流将这些流速最大的河水推向右边的河壁，同时河底附近速度较小的水涌向左边的河壁。因此，在图5—5所示的情况中，右岸受到的侵蚀一定大于左岸。应该注意，这个解释的重要依据是，缓慢的河水环形运动对速度分布产生了可观影响，因为能抵消这种循环运动影响的内摩擦力对速度的调整作用也是一个缓慢的过程。
