是啊。如果“选 择n- 1 个x，一个y进行相乘”的话，会有几种组合的可能性呢？
问得好！k是为了进行一般化计算而引入的变量，表示选择的y的个数。k是整数，满足 0 ≤k≤n这个条件。刚才我就问了当k= 0（全部选择x进行相乘）时的情况和k= 1（选择n- 1 个x，一个y进行相乘）时的情况。
“学……学长！我们回到原来的话题吧。”泰朵拉提醒道。
嗯，比起准备无数个具体的公式，我们只要准备一个引入n这个变量的公式就好了。这就是一般化的公式。各项也引入了k这个变量来表示一般化的公式。
“我背不出来，不好意思啊。”泰朵拉说。
你看，是一样的吧。
运用了下降阶乘幂后，
“嗯……”泰朵拉好像不太明白。
“让我想想哦。嗯，n是指n个 (x+y) 相乘吧，k是指什么呢？”她问道。
没有，将 (n-k)! 的部分进行约分后你就会发现，其实这两个式子是一样的。比如你考虑一下从５个东西中选出３个时的组合情况……
啊？不是，不是靠背的哦。不是让你回想背过的公式，而是让你思考。思考怎么推导出公式。
对的，完全正确！接着，我们进行一般化。如果“选择n-k个x，k个y进行相乘”的话，会有几种组合的可能性呢？
嗯，这个式子表示将x+y平方后所变成的形式。以下为x+y的三次方的形式。
这个数字就是
“是啊，但是……n-k啦k啦这样的变量乱七八糟的，背起来好像很困难。”她说。
啊，对不起。我岔开话题了，言归正传。我们刚才快求到 (x+y)n的展开式了吧。为了更容易看出其中的规律，我们将式子写得具体一些，可能会有点冗长。
最初我看到这个展开式，怎么都背不下来。但是，当我亲手把这个公式推导出来后，我发现要背出这个公式也并不困难。如果平时练习自己推导公式的话，在不知不觉中就会记住这些公式，一旦有紧急情况，就没有推导的必要，可以直接写出公式了。我觉得这种说法虽然是一种反论，但还是非常有意思的。
“哈哈，这个平衡点就这样从x开始一点一点地朝y的方向移动吧？”她问。
如果你觉得这么写让你感到不安，可以将用
不要把n-k和k分开来考虑，而是要把它们想成是“它们的和为n”。然后，这个和的平衡点由 0 到n进行变化。开始的时候x的指数为n，指数最大，这时y的指数为 0，指数最小。x的指数每次减少 1，y的指数就每次增加 1。到最后，x的指数变为了 0，指数最小，y的指数变为了n，指数最大。我是这样考虑的。k就是现在平衡点的位置。
好了，接下来就是验算了。我们先思考具体例子，然后进行了一般化计算。一般化后一定需要验算。如果不验算的话不可以哦。这里我们就用n= 1, 2, 3, 4 代入验算吧。
“哈哈。那么这就是从n个东西中选择k个时所有情况的个数吧。因为选择的顺序是已经规定好的，所以就要进行组合，是这样吧？”她说。
“这个我可以理解。(x+y)n就是将 (x+y) 连续相乘n次后所得的式子。”泰朵拉说。
是的。另外顺便说一句，将n个 (x+y) 相乘的时候，因为是一个个 (x+y) 的式子，问题也就变为选择x或y中的某一个分别进行乘法计算了。比如说，运算三次方的时候，分别从三个并排的 (x+y) 之中选择x或y中的某一个进行乘法计算。为了考虑到所有可能的选择方式，我们将选中的x和y用圆圈圈出来。
“嗯，我们可以从最右边的一个式子中选择y，剩下的其他式子都选择x；我们也可以从右数第二个式子中选择y，剩下的其他式子都选择x……以此类推都可以，一共有n种组合的可能性。”她说。
“嗯，我明白了。xxx,xxy,xyx, ... ,yyy这几项在排列上好像也有一定的规律啊。”她说。
在电车车站前那家店名叫“豆子”的咖啡店，我们边喝咖啡，边把数学公式展开。
“嗯，我明白了。我还有一个问题，我记得组合的公式是
“嗯，话虽如此，‘组合’竟然是在这种情况下出现的啊。在学习概率的时候，选择白球和红球的组合问题，我记得我算了很多乘法运算呢，好像是进行了约分的练习。但是，像这样进行公式展开，然后算出组合数的方法我还从不知道。”泰朵拉说。
问题 7-2
设n为正整数，将以下式子展开。
我们知道xn和yn这两项一定会出现。接着只要在xn与yn之间省略号的地方填上恰当的项就可以了。
首先，在进行一般化之前，先整理一下自己所掌握的具体知识吧。我们先列出一些具体例子，观察一下其结果。这么做还可以确认自己是否真正理解了题目的意思。“举例是理解的试金石”嘛。将n为 1, 2, 3, 4 的情 况分别代入 (x+y)n进行计算，得到下面的式子。
“是的。嗯……这是关于x和y的恒等式。”
我们关注一下各项中变形的部分，如果用
这就是所要求的式子。(x+y)(x+y)(x+y) 这个“先相加再相乘”的式子变成了
嗯，确实是，泰朵拉真是一针见血啊。
啊，
她害羞地嘿嘿笑着，吐了吐舌头。
“学长……有
从n个东西中选出k个时组合的个数
“嗯，因为全都选择x，所以只有一种组合的可能性吧。”她答道。
正是如此。指数全部加起来为n次方，然后分别分摊到x和y的指数上，就像把围巾分成两半。
可以将普通的阶乘n! 写成下面这样的下降阶乘幂形式。
在表示组合时使用下降阶乘幂的话，式子会变得更简单。下降阶乘幂是指将含有
那么，我们再往下计算吧。从n个 (x+y) 中选择x或者y中的一个。如果“全都选择x进行相乘”的话，有几种组合的可能性呢？
然后，进入到一般化的步骤。现在我们要求的是以下式子。
“学长，我有问题。”泰朵拉把右手举得高高的，“
虽然算到这里就可以了，但我们还是试着将这个指数进行一般化看看。也就是说，不是光算平方、三次方之类的数学公式，而是计算“n次方的数学公式”，也就是求 (x+y)n的展开式。
这样就罗列出了所有乘法组合的可能性。把这些项都加起来。
我们来这样思考。
比如说，有一个这样的公式。
解答 7-2 (x+y)n的展开式（二项式定理）
泰朵拉把数字代入式子一一确认后频频点头，说：“我看到公式中出现了那么多字母，一开始想‘哇，这么麻烦啊’，但一想到这就是一般化后的结果，不知道怎么的就觉得还能接受。增加那么多字母也是没有办法的。”
这个式子和学长所写的式子有所出入啊。”
即
嗯，是的，就是组合。选择k个y，n-k个x时，可以用以下式子来表示这个组合。
