数学女孩 作者：结城浩 （近现代）

“我们现在的目的不是准确求出的值，而是弄清究竟可以变 大到什么程度。上式中的m如果很大的话，情况会变得如何呢？你想想看。”

“原来如此。当n变大的时候，有两种情况吧，一种是部分和也无限变大下去，另一种是部分和不无限变大下去。对了，学长也有计算失误的时候呀。”泰朵拉说。

这就是ak的定义式。接下来，我们把具体展开。

泰朵拉一直盯着我的笔记本，认真地思考着，说：“无论是什么正数，只要无限往上加，总会变得很大很大吧，这应该就是所谓的无穷大吧？”

“嗯，不要激动。我们从问题这里出发一步一步做做看。思考一下当我们得到M的时候能够使成立的n是什么。”我说。

“嗯？”泰朵拉不太明白。

“嗯，这样我们就找到了一块宝物。可以无限变大下去。”我说。

今天是图书室整理图书的日子，所以不能去图书室自修。于是，我和泰朵拉决定去教学辅楼的休息室“神乐”继续计算。我们占了角落里的位子。

一瞬间，空气凝固了，我和她互相看了一眼，笑出声来。

“嗯？刚才你说了很奇怪的理论哦。那么，接下来的题目怎么样呢？”我问。

接下来就只剩计算了。

“嗯，我理解你的心思，但你过分夸大了无穷大的作用。虽然我这种说法本身也很奇怪。”

“嗯，不好意思……最后的计算，的计算结果不是 2 吧？”泰朵拉问。

如果去除分子部分的的话，我们可以得到以下不等式。

“将它们进行一般化变形并不难。假设m是大于等于 0 的整数，以下式子成立。”

泰朵拉不放过我刚才的错误，模仿着我的口气说：“但是，不仔细确认那可不行哦。您是这么说过的吧，学长。”

“但是，这个是不等式吧。如果不是等式的话，就无法准确地求出的值吧。”泰朵拉问道。

“也就是说式子中无论n有多大，都不可能比 1 大。无论相加多少，由于迅速趋向于 0，所以总和都不会比 1 还要大。如果M< 1 的话，n虽然是存在的，但是如果M≥ 1 的话，这样的n就不存在了。所以把作为题目的反例，问题 8-2 就迎刃而解了。”我说。

泰朵拉在旁边看我写。

“好，先到这里，我们歇口气。算到中途要变形成不等式，这个你知道吧。为了方便一般化的变形，不用算到最后，算到即可。现在我们只是考虑了H8 的结果，如果计算H1,H2,H4,H8,H16, ... ，就会是这样哦。”

“嗯？——啊，是真的呢，最后计算结果是 1。最终下面这个式子应该成立吧。”

“我当然也有错误的时候啊。不过，刚才的计算错误并不影响证明的过程。”我说。

的时候正好符合问题 8-1。现在如果定义‘向正的无穷大发散’这句话的话，可以表示为这样。”我说。

我解释道：“这种情况下，对于所有的正整数k来说，ak＞ 0 都成立。但是，并不能变得这么大，因为……”

问题 8-1

如果将实数的集合用来表示，正整数的集合用来表示，那么下面的式子是否成立呢？

成立的话，中的n趋向于无穷大，称为向正的无穷大发散。这就是定义。然后将它表示为

“所有项都是大于 0 的数列就可以表示成ak> 0 (k= 1, 2, 3, ... )，对于部分和，如果

突然，泰朵拉兴奋地说：“啊！我知道了，我知道了！会一直无限变大下去！如果m变大的话，会一直无限变大下去！所以，嗯，考虑到不等号的因素，如果m无限变大的话，那么也会一直无限变大下去！”

“嗯，我认为能够成立。但是……将很多个ak这个正数相加的话，也就是说将n扩大，那么和就会变大吧。然后，总有一天和要比M大。”泰朵拉答道。

我沉默着开始写起了数学公式，是昨天问题的解答。

解答 8-1

如果将实数的集合用来表示，正整数的集合用来表示，那么下面的式子成立。

的时候将会怎么样呢？”我提示道。

“无穷级数向正的无穷大发散。”

这样一来就可以利用等比数列的求和公式了。

“嗯？会有无论加上多少个正数都不会比M大的情况吗？”泰朵拉问。

“当然啰。比如，数列ak的通项公式为

问题 8-2

如果将实数的集合用来表示，正整数的集合用来表示，，那么下面的式子不一定成立。

接下来，为了运算方便，我们先加上一个，然后再把它减去。

“这样啊，用不等式表示是可以的喽。即使不求出准确的数值，也可以从小的数值开始逼近准确值……”泰朵拉像在做排球的托球姿势那样举起双手说。

问题 8-2

如果将实数的集合用来表示，正整数的集合用来表示，，那么下面的式子成立吗？

成立的m。比如，只要取m为大于等于 2M的整数就可以了。如果找到了m的话，接下来就可以求n= 2m了。也就是说，利用m来求n，这个n也就是所要求的n。”她说。

“是啊，所以昨天问题 8-1 的解答是……”

“嗯，我已经知道了。对于无论多大的数M，将m扩大到很大的话，就能够找到使

“真是不可思议啊，学长。有了这个逐渐变大的数字，一下子就可以推出的数值。为了逼近准确的数值我们使用了不等式。虽然到此为止没有什么问题……可是这个式子加上的是逐渐变小的，但是总和却可以无限变大下去，真是不可思议啊。”泰朵拉不住地点头。

“嗯，我们将‘无限变大下去’这一说法用数学公式来表示看看。这里，为了简单起见，我们将所有项都设为是大于 0 的数列。”我边说边在笔记本上写了起来。

“打扰了。”泰朵拉朝我恭敬地鞠了一躬，坐到了我身边。她来晚了一会儿，但身上的香味依旧。不知什么地方有人在练习着长笛的二重奏。