解答 3-1
“是啊，还可能是圆。一个半径为 1 的圆，也就是单位圆。复数平面上，以原点为中心的单位圆。复数的数列可以看作是单位圆上点的集合。”她说。
“我们把它放到图形上考虑。我们将刚才所说的 4 等分点bn投射到x轴上考虑。这样就产生了振动现象。也就是说，‘振动是旋转的射影’。”她说。
“除了正方形之外还可能有别的什么图形啊？”我问道。
米尔嘉眨了眨眼后回答我：“考虑下复数平面吧。所谓复数平面，也就是以x轴为实数轴，y轴为虚数轴而组成的坐标平面。这样做的话，所有的复数就都可以表示为平面上的一个点了。”
问题 3-2
将以下数列的通项bn用n来表示。
n01234567...bn1i-1-i1i-1-i...
如果将问题 3-2 的数列bn想象成复数的数列，那么 1 就是 1 + 0i, i 就是 0 + 1i ……
我无语。
“很简单啊。这是以 1, 0, -1 0 的顺序循环的数列啊，也可以说这个数列像是在振动。”我说。
(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1), ...
“还可能是圆啊 !”我惊叹道。
“没有了吧。——先暂且不谈这些。这个数列bn中，如果n为偶数，则bn为 +1 或者 -1；如果n为奇数，则bn为 +i 或者 -i。这个数列也像是在振动吧？”我说。
“i 是
问题 3-1
将以下数列的通项an用n来表示。
n01234567...an10-1010-10...
“你是说除了这种解法还有其他方法吗？”我问道。
“嗯，的确不能算你错。但是从形式上来看，看不出数列的振动。”这时，米尔嘉闭上眼睛，食指正不停地比划着什么。
“通项……也就是说用n来表示通项an就可以了。嗯，如果分情况讨论的话就可以立刻得出结论。”
“将θ增加 90 度……也就是说将θ逐步增加
我们将数列bn中的数字看作复数平面上的各点，然后再将其画在坐标轴上。
“我们再回到问题 3-1。”米尔嘉说。
“嗯？θ是什么？——啊，我知道了，θ是单位矢量（1, 0）所转的角度啊。”我恍然大悟。
虽说先暂且不谈矩阵，但是米尔嘉还是在我的练习本上写下了这样一道题。
“所以‘眼睛’是必不可少的。但我可不是指脸上的器官哦。”米尔嘉说着，指了指自己的眼球，“我指的是能够看透结构的眼力，这是很重要的”。
“是吗？你是这么来看这个数列的呀？”她好像很吃惊。
“嗯，你将这个数列理解成这样的图形了呀。确实也没有错。”
“除了表示虚数单位以外，还会有什么呢？”她说。
“能解出来吗？”米尔嘉问我。
“想不到你还真是个死脑筋啊。如果这样画会怎么样呢？”米尔嘉问道。
“一般来说，单位圆上的点都可以用以下式子表示出来。”
“没有没有，你这种思路没错。那么……我想让你用通项来表示你所说的‘振动’。”她说。
“为什么呀？”我问道。
“那这次你再看看这道题。这道题的通项又是什么呢？”她睁开眼问我。
我哑口无言。
“嗯，这样的话，数列的通项bn就可以表示为以下形式。”米尔嘉说。
“是单位圆……”我重复着。
1 + 0i, 0 + 1i, -1 + 0i, 0 - 1i, 1 + 0i, 0 + 1i, -1 + 0i, 0 - 1i, ...
“问题 3-2 的数列bn可以看作是将正方形，哦，不对，是圆周 4 等分的等分点。这 4 个等分点该用怎样的复数来表示呢？”米尔嘉看着我问道。
“这也没有错。你把这个数列也看成振动数列了吧？”她说。
“从整数联想到实数数轴，再从实数数轴联想到复数平面，然后再联想到高次方的世界。最后，表达式就变得简单了。表达式变简单了，就说明做题人有了更为透彻的‘领悟’。告诉你数列中的一部分数字，然后让你思考接下去的数字是什么，这种题只能算是智力小测验。而通过探寻通项才能看透藏在背后的结构。”她补充道。
“我们可以从多个角度来看数列an，既可以将它看作‘单纯的整数排列’，也可以将它看作‘实数数轴上点的来回振动’，甚至还可以将它看作‘在复数平面上点的旋转’。如果你发现自己所看到的数字只是一元一次的点的射影，那么就应该再想到还可能有一元二次的圆的结构。但是一般来说，能看透藏在射影背后的图形结构还是很难的。”她说。
解答 3-2
“嗯，对，我们把θ称为偏角。复数和点的对应关系是这样的。”米尔嘉说。
“不对吗？”我问。
“哈哈，原来如此。是菱形，或者说正方形的顶点吧。”我一边说一边在图上画辅助线。
“你刚才把an中的 1, 0, -1 说成是‘振动’了吧。那道题其实也可以像问题 3-2 这样来考虑。”
