如果再逐项写出来的话，反而让人觉得难以理解。我们就用
在这次的推导公式中出现的
然后将所有n+ 1 的式子用n来替换。
不管怎么样，n被抵消掉了。
如果这样考虑对应关系的话，就可以只用一个生成函数来表示无限持续下去的数列。接着，如果将生成函数表示为有限项的式子，就可以得到数列的通项有限项公式。
因为这是式子C(x)2 中“xn的系数”，所以式子C(x)2 本身就变成了二重和的形式，是这么写的。
把C0 = 1 代入上式并整理。
但是这次的推导公式并不像斐波那契数列的推导公式那样简单。在求斐波那契数列的推导公式时，我们把生成函数乘以x后，为了使上下式子x的次数对齐，将各项系数都向左或向右挪一格，然后只要进行加减运算，就能把n抵消。
我终于求出了生成函数C(x) 的有限项代数式。
我想起现在手上的推导公式
什么情况下才能够形成“先相乘后相加”这个形式呢？
Cn的推导公式已经求出，如下所示。
也就是说，“先相加后相乘”的形式展开后可以变成“先相乘后相加”的形式。
嗯？
因此，我们得到了关于C(x) 的二次方程式。假设x不等于 0，我们就可以求得方程的解。
也就是说，将生成函数C（x）平方后，式子能够变得非常简单。下面就将
噢，二重和变成了一重和的形式了！
嗯，完成得很顺利。
当我们得到数列
先相乘后相加…… 是这样说的吗？
现在我手中的武器就只有Cn的推导公式。下一步就是运用推导公式求出C(x) 的有限项代数式。那么，我来求一下C(x) 的“关于x的有限项代数式”吧。这个式子中应该不会出现n。
这样一来，n就消除了。
好了，这下等式右边的
我现在想用上次的解法来试着解这道题。
我打开笔记本，一边回忆一边开始写。
将等式右边的x放入
好，题目的关键就是要形成乘积的形式。我来试着推导一下生成函数的乘积形式吧。自己亲自动手计算，一定能够发现什么。
将生成函数平方后得到这样的形式。
为了让下标变成与指数相同的形式，将n= 0 的部分看作n+ 1 = 1。
做出来了！
因为生成函数只是C(x)，所以将它平方后，可能会出现什么吧。生成函数是这样的。
我们来关注一下下标。随着
噢，对了，要去除这个偏差，我可以利用解斐波那契数列时的方法来解决，只要将相差 1 的部分乘以x就可以了。两边同时乘以x。
但是，这次的推导公式
这个推导公式能够被
啊，做出来了！这就是xn的系数。
米尔嘉和我运用生成函数求得了斐波那契数列的通项公式。我们亲手将支离破碎的数列用生成函数这条线串了起来。
以上就是生成函数的定义。到此为止，我自己还没有动过脑子。是啊，在生成函数的王国徘徊还是比较简单的。
“不要把n-k和k分开来考虑，而是要把它们想成是‘它们的和为n’。然后，这个和的平衡点由 0 到n进行变化。”
我终于做出了
求Cn的有限项代数式的“旅行地图”
还是说Ck和
真正要动脑子的是接下来的部分。
写啊，写啊，写啊，只听得到自动铅笔在纸上的刷刷声。
我准备接着思考另一个问题，关于如何解生成函数的问题。
深夜。家人都已经入睡，家中很安静。我一个人在自己房间里，毫无顾忌地思考问题。
……(x+y)(x+y)(x+y) 这个“先相加再相乘”的形式可以变成x3 + 3x2y+ 3xy2 +y3 这个“先相乘后相加”的形式，也就是公式的展开……
米尔嘉曾经和我一起求过斐波那契数列。那时，米尔嘉把数列和生成函数对应起来进行了计算。我们在两个王国——“数列的王国”和“生成函数的王国”漫步穿梭。
常数项为C0C0，x的系数为C0C1 +C1C0，x2 的系数为C0C2 +C1C1 +C2C0。
等一下，
剩下只需把有限项代数式的幂级数展开就可以了。
对于有n个加号的式子，假设为其添加括号的方式有Cn种，下面我们来考虑数列
根据生成函数的“先相乘后相加”这个特点，我们推导出了有限项代数式。真没想到生成函数的乘积有这么大的作用啊！
做出来了！
呵呵，我想起了自己对泰朵拉说的台词。
那么，进行一般化的话——我脑海中浮现出了泰朵拉那双大眼睛——先把C(x)2 中xn的系数写出来吧。
然后，将这个数列的生成函数用C(x) 来表示。为了不让数列变得混乱，我们引入x这个变量，xn的指数n与Cn的下标n相对应，这样C(x) 就可以用以下形式来表示。
我并不知道为什么生成函数C(x) 会有带正负号的两个解，原本
