解答2-1
存在无数个基本勾股数。
那么就用A'和C'来表示a和c。
B2 =AC这个式子到底能说明什么呢？
这个命题，用反证法马上就能证明了啊。
“有趣的东西”是指什么啊，我忍不住吐槽自己。
因为c和a都是奇数，所以下述式子成立。
c+a= 偶数c-a= 偶数
我走到厨房，拿了一块妈妈珍藏的 GODIVA 巧克力。
现在假设a和c的最大公约数为g，且g大于 1，那么存在自然数J,K使得a=gJ,c=gK。然后……
这样b2 就是g2 的倍数，所以b是g的倍数。也就是说，a,b,c这三个数都是g的倍数。然而这不符合a,b,c三个数互质这一条件， 所以a和c的最大公约数g大于 1 这个假设不成立，所以a和c的最大公约数是 1，a和c是互质的。
同理可证a和b，b和c之间也是互质的。
c+a和c-a皆为偶数，b也是偶数……。好，用数学公式把“偶数”表现出来看看。将A,B,C设为自然数，可写成如下形式。
家里人都已进入梦乡。我独自在书桌前思考数学。旁边空无一人，无人与我搭话。这是我一天中非常宝贵的时间。
反证法 —— 假定原命题不成立，从而推导出矛盾的方法。
现在假定a和b都是奇数，然后跟刚才一样调查奇偶性。
解答 2-4
不存在a和b皆为奇数的基本勾股数(a,b,c)。
“存在无数个基本勾股数吗？”
今天就沉下心来思考泰朵拉的问题吧。
解答2-3
不存在a和b皆为偶数的基本勾股数(a,b,c)。
B2 =AC的左边是平方数，右边是乘积的形式。虽然化成了乘积的形式，不过下一步应该从哪边着手呢？
现在已知a和c互质。嗯……话说回来，此时A和C呢？A和C也是互质的吗？
嗯，这个问题不难。绝对不存在a,b都是偶数的情况。因为如果假设a,b都为偶数，这样由a2 +b2 =c2 这个关系式可知，c也会是偶数。因为a,b都是偶数的话，a2 和b2 都是偶数，两个偶数的和a2 +b2 也是偶数。又因为c2 就等于a2 +b2，所以c2 也是偶数。平方为偶数的数字只能是偶数，所以c是偶数。
确实，分解质因数就能明白整数的结构。但是怎么把a2 +b2 =c2 分解质因数呢？嗯……不用质因数的乘积，只用“乘积的形式”表示行不行？
嗯。这下得到了 (c+a)(c-a) 的“乘积的形式”。但是c+a和c-a都不一定是质数，所以这不能称为分解质因数。这条路走不通吗……
我又想起了米尔嘉的歌。
我注意到c肯定为奇数，于是就试着把表里所有的奇数都圈上了圆圈。
等等，a和c是互质的吗？根据基本勾股数的定义可知，a,b,c的最大公约数为 1。然而就算三个数的最大公约数为 1，其中两个数的最大公约数也不一定为 1。比方说 3, 6, 7 这三个数的最大公约数为 1，但是把 3 和 6 单拿出来，它们的最大公约数是 3……
我将第二条丝带绑在树上，深呼吸。虽然有点累，不过还能在林中走一阵子。接下来，往哪儿走呢？
要证明的命题是“A和C互质”，所以反过来假设“A和C不互质”。此时A和C的最大公约数不为 1，即大于等于 2。把A和C的最大公约数设为d(d≥ 2)。d是A和C的最大公约数，所以既是 A 的约数，也是C的约数。反过来说，A和C都是d的倍数，因此存在满足以下关系式的自然数A',C'。
好吧，用数学公式吧。
出现矛盾，是因为最初假设了“A和C不互质”。因此，“A和C不互质”是不正确的，根据反证法可知“A和C互质”。
沿用刚才的例子 22 × 34，这个数可以表示为互质的两个自然数A与C的乘积。如果有 1 个质因数 2 包含在A的质因数分解中，则所有的 22 都应该包含在A的质因数分解中。如果有 1 个质因数 3 包含在A的质因数分解中，则所有的 34 都应该包含在A的质因数分解中。某个质因数不能同时放在A和C中。拿 22 × 34 来说，只能出现如下四种拆分方法。
在此，第二条丝带——“A与C互质”这个条件有用了。A与C互质，也就是说A与C的最大公约数为 1，换言之就是A和C没有共同的质因数。考虑B的质因数bk，则任意一个质因数bk不包含在A中，就包含在C中！
在奇数上圈上圆圈
我认为可以说A与C互质。但是说“认为”太主观，必须证明才行。
结果表明，a和b其中一方为奇数，另一方为偶数。换言之，a和b的奇偶性不一致。也就是说，只能存在“a为奇数，b为偶数”或“a为偶数，b为奇数”的情况。在此假设“a为奇数，b为偶数”。因为a和b的奇偶性刚好相反，所以想求“a为偶数，a为奇数”的情况时，只需要交换a和b的位置即可。
然后又因为b= 2B，所以……这里需要计算一下。
原来是这样。将平方数分解质因数，就会发现里面包含偶数个质因数。
因为A和C没有共同的质因数，所以毫无疑问，m和n也是互质的。到头来a,b,c都可以用互质的m和n来表示了！
问题 2-6
A, B, C 是自然数。
B2 = AC 是成立的。
A 和 C 互质。
此时，就没有什么有趣的东西吗。
“整数的结构，是由质因数表示的。”
现在舞台已经从a,b,c转向了A,B,C。
听课是为了刺激自己学数学，读书也是为了研究数学。但是如果不留出时间充分开动脑筋，动手实践，听课和读书就完全没有意义了。
问题2-5
a和c互质，当c-a= 2A，c+a= 2C时，可以说A与C互质吗？
由此可以说“a和b不能皆为偶数”。虽然不知道这能否成为解开泰朵拉卡片上问题的重要线索，不过这的确是一个重要的事实。
问题2-3
存在a和b皆为偶数的基本勾股数（a,b,c）吗？
这样啊……将A,B,C分解质因数，会变成什么形式呢？以下这种形式吗？
这下，隐藏在基本勾股数中的结构就浮现出来了。只要明确到这一步，泰朵拉的问题自然也就迎刃而解了。
a,b,c的互质关系也可以通过简单的计算得到。
说起巧克力，之前还从米尔嘉那拿了一块奇巧威化巧克力。我想起了当时她说的话。
咦？a和b之中似乎总有一个是奇数。不过这是偶然？还是一般现象？我把心中的疑问记了下来。
接下来，因为c=C+A，所以下式是成立的。
在这个式子左边的 4(J2 -J+K2 -K) + 2 中，因为后面的 +2 是用 4 除不尽的，所以整个式子用 4 除不尽。
左边用 4 除不尽，右边可以被 4 整除。这就构成了矛盾。
假定a,b皆为奇数，如下所示，分别用自然数J,K来表示a,b。
由a=d(C'-A') 可知“a是d的倍数”。
根据反证法，假定的“a,b皆为奇数”不成立，因此a,b不能皆为奇数。
因为a和c都是d的倍数，所以d≥ 2 是a和c的公约数。换言之，即“a与c的最大公约数大于等于 2”。然而问题中给出的条件是a与c互质，所以“a与c的最大公约数应该为 1”。好，这样就引出了矛盾。
好像我已经从原本的问题——“存在无数个基本勾股数吗”跑偏到外星球去了。
“整数的结构，是由质因数表示的。”
夜晚。
好了，继续吧！—— 话说，肚子有点饿了呢。
例如 182 这个平方数，分解得 182 = (2 × 3 × 3)2 = 22 × 34，里面包含质因数 2 和 3，2 和 3 的个数都是偶数。想想就觉得理应如此。
不同的质数之间是互质的，所以使用质数列，就应该可以创造出无数个基本勾股数。例如设n= 2，m为大于等于 3 的质数。把m依次定为 3, 5, 7, 11, 13 的话，从m和n的组合中可以创造出不同的 (a,b ,c)。因为质数有无数个，所以可以创造出无数个基本勾股数。
最后，a,b,c就可以用互质的m和n来表示。
将其代入勾股定理。
另一方面，右边的c2 是 4 的倍数，也就是说可以被 4 整除。
嗯……啊，我太傻了，又不是“总忘记条件的泰朵拉”，怎么把条件给丢了呢。计算前不是已经假定a为奇数，b为偶数了吗。因为a为奇数，b为偶数，所以c就为奇数。这样c和a都是奇数，c+a就是偶数，c-a也是偶数。因为奇偶数之间普遍存在着以下关系。
首先，因为a=C-A，所以
c - a = 2A。
b = 2B。
c + a = 2C。
B2 = AC。
a 和 c 是互质的……
“就算是明摆着的事，最好也要认真总结下来哦。”
路途很漫长，不过没有行差踏错。
另一方面，下式是成立的。
变量太多了很头痛，不过还可以前进。弄错了方向的话，再回头看看笔记就好。
啊，我明白了！
厉害厉害，因为A和C是平方数，所以可以用自然数m,n来表示，如下所示。
喔？将B2 分解质因数时，质因数bk全变成了这种平方的形式。
奇数 + 奇数 = 偶数奇数 - 奇数 = 偶数
把以上式子代入关系式B2 =AC 观察一下。
解答2-6
A, B, C 是自然数。
B2 = AC 是成立的。
A 和 C 互质。
此时，A和C是平方数
这下就把勾股定理中自然数a,b,c的“和的形式”变换成了自然数A,B,C的“乘积的形式”。只调查一下a,b,c的奇偶性，就迈出了一大步。但是，还不知道这条路走得对不对。
这次我来消去c。
基本勾股数的一般形式
互质的一组自然数(a,b,c)，当满足关系式
时，可全部用以下形式表示（可以交换a,b的位置）。
m 和 n 互质
满足条件 m > n
m, n 有一个是偶数，另一个是奇数
a是奇数，则a2 也为奇数。b是奇数，则b2 也是奇数。a2 +b2 = 奇数 + 奇数 = 偶数。由a2 +b2 =c2 可知，c2 为偶数。c2 为偶数的话，c也是偶数。也就是说，c是 2 的倍数。2 的倍数的平方是 4 的倍数，因此可以得知c2 是 4 的倍数。嗯，这想法有戏。然后，然后……这之后能推断出什么呢？
我绕着房间来回转圈，冥思苦想，环视书架，突然脑中浮现出尤里踮着脚尖张望的背影。这时我耳边响起自己说过的那句话。
A和C中不能出现相同的质因数。而且质因数的个数是偶数……这也就意味着，A和C都是平方数。
我认真地思考着。
首先，试着列表总结一下基本勾股数，看看能不能发现什么。
嗯……基本勾股数中，a,b不会皆为偶数，那么是否存在“皆为奇数”的情况呢？
解答2-5
a与c互质，当c-a= 2A，c+a= 2C时，可以说A与C互质。
根据质因数分解的唯一分解定理 —— 分解质因数的方法是唯一的 —— 可知，B2 =AC的左边和右边，质因数列是完全一致的。左边出现的质因数应该也会在右边的某处出现。也就是说——
等一下，这样A会不会变成负数呢？不，不会的。因为a,b,c是直角三角形的三条边，斜边c肯定长于直角边a，也就是说c>a。所 以c-a> 0, 2A> 0。那么，来研究一下A,B,C吧。
问题2-4
存在a和b皆为奇数的基本勾股数(a,b,c) 吗？
研究奇偶性，留意着互质这个条件分解质因数……我得到了基本勾股数的一般形式。
至此已经求得“A与C互质”，这也是个重要的事实，是第二条标记用的丝带。
那么，总结一下明摆着的事吧。
我徘徊在数学公式的森林中，对于我而言，重要的事实犹如用来做标记的丝带。“a和b不能皆为偶数”这个事实也是一条丝带。为了不时之需还是先绑在树枝上吧。说不定在探寻森林出口时就能派上用场。
不，不对。因为存在a2 +b2 =c2 这个关系式，所以在基本勾股数的情况下，可以说“a和c的最大公约数是 1”。
因此，可知下式是成立的。
也就是说，a,b如果都是偶数，c自然而然就为偶数。然而这违背了基本勾股数的定义：a,b,c的最大公约数为 1。因为a,b,c全是偶数的话，a,b,c的最大公约数就会大于等于 2。
反过来，像上面这样用m和n的形式表示的一组数 (a,b,c) 肯定是基本勾股数。这个只要计算一下就能确定。
因为a> 0，所以m>n。又因为a是奇数，所以m和n的奇偶性应该是不一致的。
刚刚考虑的式子B2 =AC难不成相当于“平方数”等于“互质的两个整数的乘积”？这难道是路标吗？
