很好，将s和t分别平方后再相加，就可以把情况 1 和 2 总结成一个式子了！这样就避免了分情况讨论！
另一方面，右边四个因子m,n,m+n,m-n是两两互质的 —— 也就是说没有共同的质因数。
据此可知m,n都是p的倍数，和m⊥n相矛盾。
不过，这样的话就得花两倍时间和精力了。
呼……
综上所述，可以说 (m+n) ⊥ (m-n)。
m,n,m+n,m-n
嗯？
这次的旅行就是这么回事吧。
f和s+t,s-t的关系“基本粒子间的关系”
2f2 = (s+t)(s-t)
这样s，t就基本摸透了。
D2 =mn(m+n)(m-n)
接下来……
这不是……之前做过的形式吗？
写成这样后，右边就成了四个整数的乘积的形式。
也就是说，下式成立。
好，这样就明确了s⊥t！
将左右两边分别相减，导出p和n的关系。
如果在这里不存在 (m+n) ⊥ (m-n)，我就失去了重要的武器。用反证法踏踏实实地证明吧。
接下来用数学公式来表示m,n,m+n,m-n是平方数这个条件吧。
由s,t可知
s 是奇数
t 是奇数
s + t 是偶数
s - t 是偶数
s 和 t 互质(s ⊥ t)
左边的D2 是“平方数”。
我很不安。
出发点
呼……
然后，右边是“互质数字的乘积”，没错……吧？
话说回来，s和t互质吗？
比如说，存在 (m+n) ⊥ (m-n) ？
情况 1：当
因为s和t都是奇数，所以s+t和s-t都是偶数。
之前虽然跟泰朵拉讲了定义方程式的作用，但自己面临导入变量的时候，心中还是会有一丝不安。我很担心，会不会增加变量后搞得一团乱呢……
首先，p不可能等于 2。因为m和n的奇偶性不一致，所以pJ=m+n是奇数，因此p不是偶数。也就是说，p不可能等于 2。
看，出现了这样的等式。
诶？话说回来，我高兴个什么劲儿啊？
用语言表达可能有些复杂。再导入构成“基本粒子”s,t的“夸克”u,v怎么样？设u,v是互质的自然数。
嗯？
“互质”真的是一件实用的武器啊……用“最大公约数为 1”体现“互质”的时候还有些摸不清状况，而换成“没有共同的质因数”就感觉一下子开窍了，就如同一把锋利的长剑。
由“面积是平方数”这个条件我们已经推导出了AB= 2D2 这个等式，接下来将m,n代入这个等式，研究D的性质。
由此，可得出下式。
用e,f,s,t表示m,n,m+n,m-n“原子和基本粒子的关系”
e,f,s,t分别两两互质。
左边是平方数……慢着，诶？我刚才不也做了一样的事吗？这不是又绕回原路了吗？
因此，s和t都是奇数 —— 就是它！
只要从这个式子推导出矛盾，就能证明m+n和m-n互质了。来，看看能不能守住武器。
明白了。由以上等式可知，s和t都是p的倍数。因为s和t都有共同的质因数p，所以这与s⊥t相矛盾。因此可以得出结论：
今天就到这里吧……
采用跟刚才同样的方法，得到如下等式。
以防万一，我把m+n和m互质的关系也写出来吧。
因为 (m+n) ⊥ (m - n)，所以s2 ⊥t2。因为平方后的数字互质，所以平方前的数字也互质。没有共同的质因数这点在平方前和平方后是不变的。也就是说，s和t是互质的。
是分别两两互质的。我牢牢守住了重要的武器。
嗯……有没有什么好办法呢？我再一次回首向走过的路望去，看看有没有忘掉哪个关系式。
这就意味着，像往常一样考虑分配质因数的话……偶数是“2 × 平方数”的形式，奇数则是“奇数的平方数”的形式。
因为s+t和s-t是偶数，所以
可得到f和s+t,s-t的关系，即基本粒子间的关系。
s+t和s-t是整数。首先“调查奇偶性”。
我难不成踏上了发现微结构的旅途？
下面该往哪边走呢？我重看了一遍笔记想着。
夜晚，在自己家里。
怎么能因为成功变形了几个等式就高兴呢！我想要的是——找出矛盾。
m呢？完全没有用到在“原子和基本粒子的关系”里出现的m=e2 啊。m应该和基本粒子s,t相关联才对啊！嗯……将关系式
这次用e,f,s,t表示m,n。
关于
， 是“互质”的。
， 中有一方是 2u2，另一方是 v2。
u 和 v 是互质的(u ⊥ v)。
v 是奇数。
将等式左右两边分别相加，分别相减，得到下式。
研究原子 (m,n)，又发现了更小的基本粒子 (e,f,s,t)……
基本勾股数的一般形式（毕达哥拉·榨汁机）
自然数m,n的条件：
m > n
m ⊥ n
m, n 仅有一方为奇数（两者奇偶性不一致）
（参考 2.5 节）
嗯，虽然很不甘心，但已经困得不行了。
“基本粒子e和夸克u,v的关系”（接下来会出现矛盾吗？）
u ⊥ v
v 是奇数
又导入了新的变量，而且还是四个……不过一定没问题的。要信赖数学公式，信赖数学公式……
m,n,m+n,m-n
虽然看不到路途前方有什么，但旅行开始了。
也就是说，
很好，不错不错！ 不，糟了！
中，任意拿出两个因子，都可以两两互质……是吧？
假设m+n和m不互质，此时存在某个质数p和自然数J,K使得下式成立。
打比方说，假设
由A2 +B2 =C2 和A⊥B，可知A,B,C是一组基本勾股数。也就是说，采用‘基本勾股数的一般形式’，就可以用m,n表示A,B,C。这就是泰朵拉所说的毕达哥拉·榨汁机。
把上面两个式子左右两边分别相加，导出p和m的关系。
假设m+n和m-n不互质，此时应存在某个质数p和自然数J,K使得下式成立。
这样一来，“2 × 平方数”就能写成 2u2，“奇数的平方数”就能写成v2 了。
变成分情况讨论了。
因为m,n,m+n,m-n是平方数，所以存在以下自然数e,f,s,t。
想象一下把左边的质因数分配到右边四个因子中的情况，则四个因子都各自含有偶数个质因数。总之一句话，“m,n,m+n,m-n全部是平方数”！
于是得到以下关系。
我又看了一遍笔记，考虑应该把刚刚得到的s+t和s-t的条件代入哪个式子。
没准还有更小的夸克……
我即将要出发去旅行，一场推导矛盾的旅行。已确认出发地点。自然数A,B,C,D有着如下关系。就从这里开始推导矛盾。
下面来研究刚才得出的式子 2f2 = (s+t)(s-t)，先从等式右边的因子s+t,s-t开始吧。
上路吧！
同理可证m-n和m，m+n和n，m-n和n都互质。
这个质数p是m+n和m-n共同的质因数。
s的奇偶性如何呢？根据“原子和基本粒子的关系”，可知存在m+n=s2。m+n的奇偶性……我懂了。因为m和n的奇偶性不一致，所以m+n不是偶数 + 奇数就是奇数 + 偶数。不管怎样，m+n都是奇数，也就是说s2 也是奇数。s平方后还得奇数，说明s也是奇数。好，明确s是奇数了！
确实可以两条路都走。
那么言归正传。刚刚经研究得出了下式。
就快受不了像洪水一样泛滥的字母了。我又慢慢地把笔记啃了一遍，就夸克进行了一下整理。
一方面，左边的D2 是平方数。如果进行质因数分解，就能得到D2 含有偶数个质因数。
但是p也不可能大于等于 3。因为如果p大于等于 3，m和n就都是p的倍数。但是m⊥n—— 也就是说m和n没有共同的质因数。所以p不可能大于等于 3。
我抱着头发愁。
首先用m,n表示AB= 2D2。
在等式两边同时除以 2，得到
只有这点条件，根本分不出
接下来会出现矛盾吗？
t的奇偶性同理。存在m-n=t2，m和n的奇偶性不一致。t2 是奇数，因为t平方后还得奇数，所以 ((t也是奇数((。
刚才我们用m,n表示了A,B,C,D。
哇！整理出了一个相当简单的等式，这就是基本粒子e和夸克u,v的关系式。不错不错……
因为m和n互质，所以从这里出现的四个因子
试试用e,f,s,t表示m吧。虽然已经有m=e2 这个等式了，不过由下面的式子应该能够得到些什么。
我……
研究原子 (A,B,C,D)，发现了小原子 (m,n)。
2f2 = (s+t)(s-t)
我呆呆地站在森林深处的分岔口处。
嗯，把两个式子左右两边分别相加相减，可以用s,t表示m,n，即用基本粒子来表现原子的结构。
咦？我不是在“原子和基本粒子的关系”中以“e,f,s,t分别两两互质”为前提导入了变量吗……算了，总之可以肯定s⊥t。
左右两边分别相加再除以 2，可得
不不，不要紧。等式左边的f2 是平方数，右边含有质因数 2。因为等式右边应该也是平方数，所以另一个质因数 2 应该分配给两个因子中的一个，即
变成了乘积的形式，我已经明白了！
根据“两数之和乘以两数之差等于平方差”，将 2n=s2 -t2 的右边变形为乘积的形式。做出乘积的形式，是为了方便研究整数的结构。
D2 =mn(m+n)(m-n)
好，这样就证明了四个因子
我告诉自己“要信赖数学公式”，赶走了心中不安的情绪。数学公式的好处就在于，可以脱离含义，用机械性的操作来一层层解开问题。只要将基本勾股数的一般形式纳入式子中，就可以忘掉直角三角形的事儿了。之后胜负就取决于能否将数学公式作为武器熟练运用了。
带有s+t和s-t这样的因子的数……在这个“基本粒子间的关系”中。
情况 2：当
