“嗯？什么意思？”
此时，
“好。”泰朵拉笑了笑。
去分母，两边同时除以g2，可得到下式。
我们并肩走在回家的路上，穿过住宅区曲曲折折的小路。
听到瑞谷老师的声音，我才恍然大悟地抬起头。
直角三角形……也就是说，三边边长应该能构成勾股数。用变量表示三边边长，再研究它们的条件就能解开了吧？
泰朵拉一边说着，一边摆出拳击的架势左右挥着拳头。
要证明的命题的否定如下，我们假定其成立。
好的，继续计算。
因为 (A,B,C) 是基本勾股数，所以A和B中有一方为偶数。也就是说是自然数。因此d2 是g2 的倍数，即d是g的倍数。所以，存在自然数D满足d=gD，代入公式。
好，那么来挑战一下，看能不能证明
“就是那个‘用m和n创造基本勾股数’的方法啊！我想用‘基本勾股数的一般形式’来考虑。”
“啊，原来如此，还有这种方法啊。”
“存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形吗？”
因为g代表了a和b的所有质因数，所以A和B已经没有共同的质因数了。也就是说，A和B互质（A⊥B）。
a=gA,b=gB,A⊥B（A和B“互质”）
“所以啊！我一直在努力挑战这次的问题，用那个毕达哥拉·榨汁机。”
“没错。又是三角形的问题呢。”
“不存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
也就是说，c2 是g2 的倍数。这样一来，c就是g的倍数，那么就存在满足下式的整数C。
天色已经暗了，在钻研数学的过程中，我忘记了时间的流逝，生活在如梦境般的另一个世界之中。会意识到这点，是因为我已经回到了往常的世界。这边的世界 —— 有我，有泰朵拉，有米尔嘉……
反证法的假设：“存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
“啊，学长！刚刚米尔嘉学姐也来了一下，不过说是要跟盈盈学姐练习，就回去了。”
“没什么，总觉得该谢谢你，嗯。”
“放学时间到了！”
原来如此……的确面积无法构成平方数。不过我只研究了 5 组，还不能断言“绝对无法构成平方数”。未经证明的话只不过是猜想而已。
首先是“直角三角形”。假设三边边长为自然数a,b,c，c为斜边边长，然后由勾股定理得到
这个等式可以表达“直角三角形”的概念。
30 也不是平方数，喔？
接下来，把命题里的重点用数学公式表达出来。
“我怎么这么……手忙脚乱呢……”泰朵拉说道，“只要出现一个数学公式，我脑袋就被塞满了，条件都不知道飞到哪儿去了……”
泰朵拉站在我面前。
“来得真早啊。”
这样啊，确实，只要使用基本勾股数的一般形式，就能用A,B,C表示m和n。从这里开始研究的话，能不能引出矛盾呢？
直角三角形的面积
问题8-2 （问题 8-1 的另一个说法）
存在满足以下式子的自然数A,B,C,D吗？
（A⊥B表示的是A和B互质）
代入a=gA,b=gB。
那再看看别的例子吧。研究一下 (a,b,c) = (5, 12, 13) 的情况。
“我正在举实际例子来验证自己的理解呢！所以麻烦学长不要说话！”泰朵拉把食指放在嘴唇上，做了一个‘嘘’的手势。我不由得心跳了一下。
“学长？”
至此可以说是一路笔直地踏实前行。下面应该走哪边好呢……
假设三边边长分别为a,b,c（c为斜边边长），研究一下典型的勾股数吧！
嗯。这次 在‘面积是平方数’的条件里代入A,B来研究吧。感觉找到状态了……设d为某个自然数，写成下面这种形式就可以用数学公式表达“面积是平方数”的概念了。
“该回去了吧？”
“嗯，回去吧。谢谢你，泰朵拉。”
“对对！学长和米尔嘉学姐都能轻轻松松地写出定义方程式。‘设
嗯，进行得很顺利嘛。
c=gC
要证明的命题：“不存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形。”
“这主意不错啊。”
我像往常一样迈进图书室，这时泰朵拉已经开始学习了。她一个人在笔记本上热衷地写着什么。
“虽然定义方程式中变量会增加，不过之后的式子变形会很有趣哦。”
“诶？谢什么啊？”
“啊，学长你也在想吗？我也不会输的哦！”
因为我想以尽可能简单的形式逐步思考，所以我将a,b设为两个互质的数字。想得到互质的话，只要除以a和b的最大公约数就好。把a和b的最大公约数设为g，就存在以下自然数A,B。
“这么说来，之前你也说过变量一多就感觉难了呢。”
因为不存在平方后得 6 的整数，所以 6 不是平方数。原来如此！
“那，我在那边算自己的。等会儿咱们一起回去。”
“已经想了很久了吗？感觉能解开吗？”我问道。
至此，就创造出了一个带有附加条件的新问题，条件就是给出的数字之间互质。这个问题是泰朵拉手中卡片的另一个说法。
把a=gA,b=gB代入到勾股定理里试试。
泰朵拉一会儿双拳按头，一会儿双手抱头。
在这之后的一周，周五放学后。
我看着泰朵拉，沉默地注视了一会儿，她脸颊微红，歪着头问我。
由A⊥B和A2 +B2 =C2，即可推导出B⊥C,C⊥A。这样就可以导入三个两两互质的数字A,B,C来替换a ,b,c。(A,B,C) 是基本勾股数。
“你现在做的是村木老师出的问题？”
我在表上试着总结了几个勾股数。
问题8-1
存在三边皆为自然数，面积为平方数的直角三角形吗？
不过，还是没能发现关键的矛盾所在。
a2 +b2 =c2
我原本打算继续算有限域
整体证明的思路，还是用反证法吧。假定存在一个面积为平方数的直角三角形，然后推导出矛盾。感觉这样会更清楚一些。
不过还是先举个实例来验证自己的理解吧。——“示例是理解的试金石”。
“学长？”
直角三角形的面积
(a,b,c) = (3, 4, 5)
计算得
