“没错。”
ex的微分方程
“我想起来了……”泰朵拉说道，“原来听过
“哥哥，哥哥！”
“唔……我最不明白的是 e 的 iπ次方。”
好好看一下这些等式，确定了a0 的值，a1 的值也就确定了。确定了a1 的值，然后a2 的值也就确定了……就像这样，跟多米诺骨牌一样一个个确定值。那么a0 是什么？实际上考虑一下 ex的幂级数，就不难确定a0 的值了。
“喂喂，你们的思路又回到‘乘以的个数’上面去了。我说，只要把指数理解成‘乘以的个数’，就不可能理解了。即使理解了，也会觉得是没理也要辩三分，硬加上去的。只要思维还停留在‘乘以的个数’这里，就没法逃出自然数的束缚。也就是说，虽然能明白 1, 2, 3, 4, ... 这样的具体例子，但是像 0 和 -1 这样一脱离自然数，就会弄不清楚了。”
“我知道 cosθ和 sinθ的泰勒展开。”
“泰朵拉你能解释一下为什么 20 = 1 吗？”
“cosθ和 sinθ的泰勒展开是什么样子的？”
“不愧是高中生。”
“泰朵拉回答正确。20 是等于 1 的。”
“学长……也就是说，欧拉的公式就是‘面朝右的人向后转，就会面朝左’是吗？”泰朵拉左右摇着头说道。
“看，确认了周期性。幅角θ+ 2π 的复数等于幅角θ的复数。”
“啊，这样啊。嗯……cos 这边是吧。当x等于 π 时，纵坐标位于曲线下面啊。是 -1 吧？是吧，cos π = -1。”
这正好与‘形成 90° 旋转，周期为 4’‘x4 = 1 的解变成x= 1, i, -1, -i’‘三角函数的微分周期变成 4’……这些条件相呼应。”
“我们试试看吧。嗯……假如让s= 1,t= -1……”
“学长，这下关于所有的整数n= ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, ... ，2n的值都确定了对吧。”
看之前y= cosx的图像就能得到 cos π 的值了。因为当x= π 时y= -1，所以 cos π = -1，由此我们可以得到以下式子。
“我说哥哥……等一下嘛，欧拉的公式中出现欧拉的式子这点人家能明白，可是人家还是中学生，怎么会明白指数函数和三角函数什么的嘛！”
“我说哥哥！虽然人家刚刚才学，这么说可能有点太自以为是了……或许欧拉的式子
“我们也从几何层面考虑看看吧。在复平面上画一个以原点为中心的单位圆……”
“学长，刚才尤里一说我也感觉到了。”泰朵拉说道，“用指数运算法则定义，还有用幂级数定义，学长都非常重视数学公式呢。”
“没什么没什么，你们经常听我讲，我才要谢谢你们。”
“您您您您您太客气了。”
“唔……好吧，就放你一马。”
“确实如此。”我表示同意，“虚数单位 i 也很有趣。光是知道 i2 = -1，像这样列出
“不好意思打搅你们学习了，有位可爱的‘跟踪狂’从刚才开始就在大门前走来走去。是不是你的朋友啊？”
“为什么要吃惊啊？”
“冻坏了吧，别客气，当自己家就行。”
指数函数 ex的泰勒展开
进行‘指数函数定义’。”
“因为在这里
“因为很有名啊，只要是理科生都知道。”
“没什么，刚刚我在跟尤里一起研究数学呢。”
“孩子们，先休息一下，过来喝个茶再学怎么样？”
“词是很难，不过你只看数学公式就行了。
“嗯……感觉好像明白了，我明白这是有道理的了……”尤里说道。
“因为是 2 的一半所以……啊，得 1! 原来 20 = 1 啊。”
“这样啊……一开始人家就问的这个啊。”
“嗯……最后那里好像有点奇怪吧？”尤里问道。
“嗯，非常在乎。这么重要却叫不出名字，心里岂不是很没底吗？能叫出名字，不就安心了吗。尤里你不这么觉得吗？”
“对，如果从 2n的指数n减去 1，那么 2n的值就会变成原来的二分之一。如果我们从 21 的指数中减去 1，那么 20 会变成什么，按照相容性就不用我说了吧。”
“这个……尤里你这话真犀利啊，不是什么函数都能用幂级数来表示的。但是关于这点我们先……省略。”
“没错。运用指数运算法则，不仅可以算整数的次方，还能算有理数的次方哦。打个比方，我们来算一下
“就是这样。你们已经成功脱离‘乘以几个 2’的想法了，我们以指数运算法则为基础确定了要求的值。”
“嗯……”尤里皱着眉头认真地思考着，“我说哥哥，这次讲的欧拉的公式，人家还没有完全明白。就这样突然跳到指数函数、三角函数、微分方程太难了啦。人家感觉脑子都快炸了啦。”
所以，在指数运算法则中代入s= 1,t= 0，这个等式也成立。不成立就难办喽。”
“咋了咋了咋了？！”尤里也跟着大叫起来。
指数函数是急剧增大的函数。
尤里双手盘在胸前，继续说着。
“嗯，我没解释到位，尤里你居然注意到了……”
“说的是啊，谢谢哥哥。”
“所以人家都！说！了！人家明白了啦！话说回来，人家问的是 eiπ 啊！”
“如何，尤里？”
“不嘛，让人家来！根据指数运算法则对吧……”
21 × 20 = 21 + 0
泰朵拉看上去理解得很透彻了。
无矛盾性吗……我刚刚表达为“相容”。这不就是无矛盾性吗？同样运用指数运算法则，如果 20 的值一会儿是 1，一会儿是 0，这就矛盾了。可以断言，像这样具有矛盾的法则中不能存在 20 这个概念。原来如此……的确，“无矛盾性是存在的基石”。
尤里似乎还不太明白。
“应该等于 1 吧？”泰朵拉回答。
代入x= 0，就可以消去a1x+a2x2 +a3x3 + ... 中含有x的部分了。因为我们已知在微分方程中 e0 = 1，所以……
“解出来啦！原来
“嗯，答对了。尤里你明白了啊。”
“那尤里，cos π 的值是多少？”
“不，没弄错，百分百正确。如果指数是 1, 2, 3, 4, ... 的话，也可以将指数表达为‘乘以的个数’。当然，当指数为 1 的时候实际上不能构成乘法运算，这个不用我说吧。”
“好好……我们平常看到 23 就会想 到‘连续乘 3 个 2’对吧。但是为了理解欧拉的公式，我们必须把这个想法远远抛开。这个嘛……因为 eiπ= -1 这个式子属于‘欧拉的公式’的特殊情况，所以可能先学欧拉的公式会比较好。”
“对。现在我们要定义 2x的含义。我们把指数按下面这样定义，使其满足指数运算法则。”
“嗯，原来做过一些这方面的题。”
“诶？为什么啊？”
“那就教给人家嘛！把 e 乘 iπ 次有意义吗？”
“大家都明白这个数学公式的意思吗？人家不懂啊！”尤里将双臂交叉在胸前，“很奇怪不是吗？要是 23 我就明白。二的三次方，连续乘 3 个 2 就好啦，e 也一样，再怎么复杂的数字终究还是数字啊。不过 iπ 次方是怎么回事？难道乘 iπ 个 e 吗？我不明白。”
“原来如此……”泰朵拉点头，“看着指数运算法则，想办法让指数中出现 0，然后由 21 的值确定 20 的值……”
“不过啊，也有人家能明白的部分，就是 eiπ 的意思。在听哥哥讲以前我都一直觉得，iπ 次方肯定没有意义！因为我一直认为指数就是‘乘以的个数’。是泰朵拉说的吧，没理也要辩三分，硬加上去的。不过听哥哥用幂级数讲过以后，人家才明白自己之前都错了。这不是硬加上去的，不是用‘乘以的个数’来定义指数，而是用指数运算法则这个数学公式来定义。还有，指数函数 ex也是用幂级数这个数学公式定义的。”
这是将指数函数 ex泰勒展开得到的幂级数。在此，我们明确写出x0 和x1 的指数和前面的符号 +，再把 0! 看作 1，用简明易懂的形式表示出来。”
“因为欧拉的公式不是已经出来了吗？”
指数运算法则
“同 理，当
“好久不见，泰朵拉。”尤里打了个招呼。
“我们假设指数函数是满足以上这样的微分方程的函数。”
“还有学长……我觉得幂级数特别厉害。居然能把像指数函数和三角函数这样看上去完全没有联系的事物联系在一起。这也可以说是很大程度上的同等看待吧。幂级数在指数函数和三角函数之间架起了桥梁。”
最后，我们用 i × 0 = 0 这个条件。看，得出了欧拉的式子。
“这个嘛，可以这么说……”我不禁苦笑。
跟踪狂？
“多谢学长经常教我们数学。”
“哥哥，刚刚泰朵拉说的我也懂，可是就是接受不了喵……刚刚代入了s= 1,t= 0 吧，可是就这样随便想个值好吗？用别的s,t会不会得出别的值呢……嗯，我说不好……”
我把视线从笔记本上移开，尤里边摘眼镜，边对我露出带有深意的笑容。
将圆周率 π 代入公式，替换公式中的变量θ。
“那么，接下来到指数函数的高潮部分喽。”
“喔？然后呢？”尤里问道。
“嗯，就是这样。可以说是‘信赖数学公式’。”
“对，i 是虚数单位。”
“这能行吗？”
由指数运算法则我们可知 21 的值，21 = 2。因此可得到如下等式。
对哦，她们俩从尤里动完手术出院以后就没见过了。
“感觉全部都相关联呢……”泰朵拉说道。
“嗯，这种‘解释’在某些情况下是对的。”我点头，“但是希望尤里你能明白，‘解释’也是有限度的。0.5 个呢？ π 个怎么办？ i 个呢？ iπ 个是什么意思？对吧。”
也就是说a0 = 1。既然确定了a0……”
“学长，在讲之前我有个问题……”泰朵拉举起手，“23 的 3 叫作‘指数’是吧，那么 23 的 2 叫什么呢？”
“well-defined 这个概念是 well-defined 的吗……”
“我说尤里，跟哥哥道个谢吧？”
“嗯！不过人家也能明白吗？”
◎ ◎ ◎
“咦？人家不太明白呢。我说哥哥，不是之前有过指数函数，我们已经把它泰勒展开了吗？”
“那我们脱离欧拉的公式，先从基础的地方开始理解。如果有什么不明白的，尤里和泰朵拉都可以打断我。在看到 23（二的三次方）这个数学公式时，我们已经自然而然地会想到指数，即位于 2 右上方的小 3，它表达的是‘乘以 2 的个数’。”
“嗯……不过感觉有点不能接受喵。”
而尤里却在抱怨。
泰朵拉舌头都打结了，紧张得不行。
◎ ◎ ◎
小小的桌前，围坐着我、尤里还有泰朵拉。我妈拿来了红茶和蛋糕。
“嗯，确实。”
“虽然需要转换一下思维，不过还是很有意义的。想听吗？”
在欧拉的公式中，指数函数和三角函数这两个具有截然不同性质的函数居然被用等号连接了起来。真是奇妙啊。
“尤里真聪明！居然能明白这么多！”我忍不住赞叹。
然后利用 i2 = -1，只留下奇数次的 i。这时也得注意符号。
“诶？为什么？明明乘以 0 个，为什么不是 0 啊？”
就会得到 1, i, -1, -i 的循环。
‘单位圆上，幅角为 π 的复数等于 -1’
“那个……泰朵拉你明白这些吧？”
“没错。满足y= sinx的点 (x, y) 的集合就构成正弦曲线。”
“又出来新词了……幂级数？”
“是啊。所以我们确定 20 = 1。”
“比如说，e 是什么？”
“对对对对对不起，我没想来学长家里打扰学长，只是偶然路过……”
“比如说我们要研究 20 的值，指数满足指数运算法则。
“对，在求平方根的时候，必须说明
“嗯，所以说，只在自然数的情况下，我们才用‘乘以的个数’来思考指数。我们不去强行解释 0 个和 -1 个的情况，不用‘乘以的个数’来定义指数，而是用‘数学公式’来定义。我们要站在这个立场去想问题。”
“哦……然后呢？”
“求微分是从函数创造函数的一种方法。用 prime (') 这个符号。关于微分，现在我们只需要考虑两条法则：第一条法则是，常数的微分结果等于 0；另一条法则是，xk的微分结果等于kxk-1。刚才我说的两条法则可以像下面这样用数学公式表达。
20 = 1
“尤里能明白 0 个哦！就是‘没有’嘛。”
“什么是什么意思？”
“感觉真敏锐啊……没事，我明白你想说什么。你想问指数运算法则究竟有没有满足相容性是吧。‘定义指数，使其满足指数运算法则’这点没什么问题，但是不是适用于所有指数呢？数学上将这种严格适用于所有情况的定义称为 well-defined。”
对吧？为了求出
看y= sinx的图像就能得到 sin π 的值。因为当x= π 时y= 0，所以 sin π= 0。
“诶？光用说的人家怎么能明白嘛，要写出来解释给人家听嘛～”
“哥哥你一口一个微分方程，人家听都没听过。”
“什么？”
泰朵拉微笑着看着我和尤里。
在等式两边同时除以 2 的话，20 的值就确定为 1 了。”
“不过说到‘乘以 0 个’你就搞不清楚了吧。”
“是这样的。”
“是是。”
“等于 0 吧。”尤里回答。
“学长在解题吗？”泰朵拉问我。
“这房间给人一种很安心的感觉呢。”
然后，代入x= iθ（大胆地代入）。
我举起手，示意尤里停一停。
好好……那么首先写出 ex的泰勒展开。
“喔？”
“尤里真聪明啊……”我想要摸摸她的头，尤里却拨开了我的手。
“啊，这样啊。之后只要重复就好了。”尤里点头。
我妈又从门口探出了脸。
这时，我妈从门口探出了脸。
“这就过去。”尤里答道。
“原来如此……”泰朵拉露出佩服的表情。
我们回到了我的房间。
“还记得欧拉的公式左边是什么样子吧？”
明白了吗？在指数函数 ex的幂级数中代入x= iθ，然后就把θ的偶数次项和奇数次项分开了。虽然和泰朵拉写的三角函数的泰勒展开一对比就明白，不过“θ的偶数次项”是 cosθ的泰勒展开，而“θ的奇数次项”是在 sinθ的泰勒展开中乘了一个 i。把它们加在一起，欧拉的公式就出来了。
“对，π= 3.14159265358979 ... 是个无限循环的无理数。”
“将幅角设为θ，这样一来这个单位圆上的点就对应 cosθ+ i sinθ这个复数。根据欧拉的公式
嗯，我非常喜欢欧拉的公式。虽然人家还不太理解，不过这一行数学公式中居然包含了这么多美丽的东西。欧拉真是了不起喵！”
“喔？”
“嗯，解出来了。”我说。
2 × 20 = 2
“这么想就能理解了，像 24, 23, 22, 21, 20 这样，把指数逐次减去 1，这样一来计算结果会有怎样的变化呢？”
“微分方程？”尤里问道。
我打开大门，只见一个小个子女生在门口慌乱地踱来踱去。
“是吗？话说这个数学公式是什么意思啊？”
“well-defined。”尤里重复了一遍。
“我也是。听着听着就越来越不明白了。就像尤里说的那样，总觉得乘以 0 个得 1……很别扭。感觉像是硬加上去的结论……”
又是一个周末，外面寒风阵阵，房间里却暖洋洋的很是舒心。
“π 是圆周率 3.14 ... ？”
也就是说，“最美的数学公式”指的是欧拉的公式中θ= π 时的情况。
我妈敲了敲门走了进来，满脸忍俊不禁。
“说的也是……”用一句话很难讲明白啊。
21 × 20 = 21
是泰朵拉。
a0 指的是 x 的 0 次方项，系数是 a0。
a1x 指的是 x 的 1 次方项，系数是 a1。
a2x2 指的是 x 的 2 次方项，系数是 a2 ……
“好好……”
“诶？”
2s× 2t= 2s+t
“我说，是不是也可以算负数次方啊？”尤里问道。
“因为根据指数运算法则，乘以 21 指数就相应地加上 1，乘以 2-1 指 数就相应地减去 1。”
“一般情况下也可以用正数a> 0 解释指数运算法则，不过举出具体数字更容易思考，所以我用 2 来解释。”
“哥哥，话说回来，sinx不是 sin 乘以x吗？”
“嗯，是很了不起。”我表示赞同。
◎ ◎ ◎
“对。确实是这样。不过在泰勒展开的时候，指数函数 ex的x毕竟还在实数范围内。现在我们想在指数函数 ex的x里加入复数，所以要利用泰勒展开得到的幂级数这种数学公式的形式，来定义指数函数。”
“数学领域中要定义什么的时候，必须证明这个定义是 well-defined 的。不能随便创造法则，随便定义概念。这样就失去相容性了。虽然现在还没有证明，但指数运算法则是 well-defined 的。”
“无矛盾性是存在的基石。”
“嘁，你为什么会知道啊。”尤里的脸上写着两个大字——“无聊”。
“你们都不过来，我这当妈的有点寂寞啊……”
“最美的数学公式”（欧拉的式子）
eiπ= -1
一直觉得泰朵拉在平时都是一个手忙脚乱的妹妹角色，这么跟尤里待在一起一对比，感觉她一下沉静成熟了许多……
“什么事啊？！”我妈赶过来了。
“哥哥！继续继续！继续讲怎么用指数运算法则定义指数！”
“-1 个就是借了 1 个嘛，就是这么回事喵。”
计算
“喂喂，看看图像啊！”
“对对，
首先，先说一下能从欧拉的公式推导出欧拉的式子好了。先把欧拉的公式写在这里。
“呃，不是。sinx是个函数。加个括号写成 sin(x) 应该更好理解吧。知道了x的值，就知道了与之相对应的 sinx的值。这就是函数。打个比方，sin 0 的值是 0。意思是当x= 0 时，sinx= 0。你看y= sinx的图像，是通过 (x, y) = (0, 0) 这一点吧。”
“而且，要是说到 -1 个你该怎么办呢？”
这就是欧拉的公式。首先忘记虚数单位 i，先试着看看这个式子。这个式子左边是指数函数，右边却是三角函数。
“说什么‘最美的数学公式’，我还以为是什么样的呢，可是人家看了这个 eiπ= -1 的式子也完全不明白什么意思。没法说它‘美’喵！”
“我说哥哥，你知道‘最美的数学公式’吗？”
接下来把θ的偶数次项和奇数次项分开罗列。
“是是。”
尤里方才还在安静地看书，不知怎的忽然站了起来。
“计算右边的指数 1 + 0 = 1，则存在以下等式。
“泰朵拉……你到底是何人？”
“嗯，说的是啊，不过你等一下，即使不理解微分方程，只要明白这个式子的形式就可以了……为了求指数函数的具体形式，我们像下面这样，把指数函数写成幂级数的形式。”
“诶，这个弄错了吧？”尤里问道。
“把它们稍微变个形式，就可以写成以下这样。
我跟尤里你一句我一句地说着，泰朵拉则静静地喝着红茶。总觉得她跟平时有些不同，似乎在享受这种氛围般，微微地笑着。
“刚才我们丢掉了‘指数表示的是乘以的个数’这个概念对吧，取而代之，我们把它理解成遵守指数运算法则这个数学公式的数字。从数学公式具有的相容性出发，延伸指数的含义。这次我们再重复一遍刚才的工作，也就是说利用数学公式来定义指数函数。怎么办呢？我们把刚才的泰勒展开——
“等一下等一下！”尤里说道，“刚才我们干了什么？没把指数想成‘乘以的个数’，直接用指数运算法则定义……吗？”
接着，我们试着把这两条法则应用到刚才的‘指数函数的幂级数’上面。”（其实必须证明微分算子的线性和对于幂级数的可适用性，不过在此就省略了。）
欧拉的公式（指数函数和三角函数）
“16 → 8 → 4 → 2，每次都会变成原来的一半呢。”
“哎呀呀……居然还有条件挡着呢！”泰朵拉说道。
“能明白的。只要稍微降低一下严谨度，过程应该不是很难。”
“什么奇怪啊？”泰朵拉重新看了一遍式子。
“是自然对数的底，是个著名的常数。e = 2.71828 ... 它是个无理数。”
sinθ的泰勒展开
尤里一瞬间露出了不开心的表情，不过马上就恢复了原样。
尤里用力地点了好几次头，马尾辫配合着头部的摆动摇晃着。
为什么连老妈都过来了啊……
“说的也是。”
“‘求微分后形式也相同’指的就是指数函数的微分方程。也就是说，等式
“泰朵拉，什么让你那么吃惊啊？”尤里问道。
“我等你们哦。”说着我妈缩回了身子。
跟她们讲着 well-defined，我想起了米尔嘉说过的话。
“没听说过。那个，eiπ 的 i 是 i2 = -1 对吧？”
“这个嘛，是这样没错……”
“那么当指数为 0 时会如何呢？ 20 等于多少？”我问道。
两个人互相对视了一阵子，不一会儿，深深地向对方行了个礼。
“知道啊，欧拉的式子，eiπ= -1 是吧？”
“嗯。我明白。”尤里回答。泰朵拉也点头。
“就是这样。”我说，“泰朵拉先注意到了。总之，先好好看看指数函数 ex和三角函数 sinθ，cosθ的泰勒展开，然后欧拉的公式就会出来了。”
“我说……别随随便便摸女孩子头发！”
“然后，把θ持续增大，与复数
“我们的目的是查明欧拉的公式，所以下面稍微加快点速度，从 ex的微分方程来思考指数函数。”
cosθ的泰勒展开
“这个嘛，在求平方根那里。”尤里说道。
然后，我们把 x 的 0 次方项、1 次方项、2 次方项……这些项无限相加，把这个相加的式子称为幂级数。我就是想用幂级数的形式表示指数函数。”
“不，只是学长……私下有教过我。”
“人家明白了啦。”
“嗯？让我来解释吗？不好意思，我说不好。”
喂喂……
这个含义。这就是尤里之前的问题的答案即‘欧拉的式子的含义’。”
这样比较一下等式两边的系数，就可以得到以下等式。”
回到单位圆。
“Is the term‘well-defined’well-defined?”泰朵拉问道。
虽然略去了很多需要严谨讨论的部分，不过总算完成了。如何，尤里？
“对不起对不起，没什么。我只是有点吃惊……”泰朵拉红了脸。
“不知道。”
◎ ◎ ◎
“叫作‘底’，也叫‘底数’。”
eiπ（什么意思？）
我走到房间中央的小桌子前坐下，翻开了笔记本。尤里在我旁边扑通坐了下来。
“我在解释欧拉的公式……这就是欧拉的公式。”
“尤里你不觉得很吃惊吗？”
“嗯，是这样吗……”
“知道了，这就去。”
“你看，cosθ是 0, 2, 4, 6, ... 这样，只出现了偶数对吧。而 sinθ是 1, 3, 5, 7, ... 这样，只有奇数对吧？”
“哇塞！”
代入x= iθ，再利用 i2 = -1，则 1 → i → -1 → -i → 的循环就派上大用场了……”
“啊啊啊啊啊啊！”泰朵拉沉默了好一会儿，突然爆发了。
“嗯……这个是叫正弦曲线吧？”
“嗯。”
“泰朵拉你很在乎叫什么吗？”尤里问道。
三角函数是波状图像。
“你看，勾股定理的话就有‘直角三角形三边的关系’，这个欧拉的式子呢？”
我不知怎的，竟然觉得有些高兴。
“用数学公式来定义？”泰朵拉和尤里同时提出了疑问。
20=1
