因此，例11- 37和例11-38都可以被符号化为一个析取的否定：
现在，请考虑如下命题：
例11-30 他上了床铺，脱下鞋。
专栏11-1 小结：复合命题
它们可以用符号表达为：
例11-10 罗素·克洛不是一名演员。
例11-51 鹦鹉是哺乳动物，当且仅当猫是哺乳动物。
因此，任意具有真后件的条件式为真，而任意具有假前件的条件式为真。
显然，合取命题（S · A）为假，因为它的两个合取支都为假；同时，～P为假，因为它是P的否定，而P为真。因为例11-35的两个析取支都为假，依据析取的真值规则，可知例11-35为假。
例11-10a ～C
O = 美国在其他国家有代理机构。
但是，例11-21不是一个否定：
例11-37a 既非中央情报局容忍恐怖分子，也非联邦调查局容忍恐怖分子。
实质双条件
上述命题在逻辑上等价于：
否定是唯一一个能够影响单一命题的联结词。
一个否定命题为真，如果被否定的命题为假。
例11-39 中央情报局不容忍恐怖分子，联邦调查局也不容忍恐怖分子。
对于由双条件式所产生的复合命题，它的真值取决于组成部分的真值，相应的真值规则如下：
C = 中国在其他国家有代理机构。
一个析取命题为假，当且仅当它的析取支都为假；否则，一个析取命题为真。
例11-52 林肯是被刺杀的，当且仅当肯尼迪是被刺杀的。
例11-17 林肯被暗杀了。
此外，还需注意的是，作为一个真值函项联结词，合取满足交换律，即合取支的次序不影响相应复合命题的真值。假设例11-26为真，那么依据相关事实，“多伯曼犬是凶猛的狗，并且罗特韦尔犬也是凶猛的狗”为真，例11-27也为真。然而，对于这一点，我们也得小心，因为有时次序需要被考虑。不过，在这种情况下合取就不是一个真值联结词了，例如：
例11-26 罗特韦尔犬和多伯曼犬都是凶猛的狗。
例11-25a ～E ·～B
实质条件是一个真值函项联结词，因为对于由它所产生的复合命题，只要给定其前件和后件的真值，依据如下规则，就可以确定该复合命题的真值。
例11-48a B ≡ O
一个否定命题为假，如果被否定的命题为真。
注意，这里的主联结词是否定，不是析取。另外，例11-37和例11-38在逻辑上等值于例11-39。
例11-20 康多莉扎·赖斯是未婚的。
表达该命题的公式是例11-11a，它用圆括号表明M和J都在否定的辖域内。
例11-23 火星（Mars）和木星（Jupiter）都有水。
例11-32 他说“你好”并且看见她。
例11-43a （N · I） ∩ C
实质条件式是一种复合命题，又称为“实质蕴涵式”或“条件式”。相应的真值函项联结词可以用自然语言表示为“如果……那么……”，或用符号表示为“∩”。例如：
至少包含一个联结词的命题是复合命题；否则，它是简单命题。请考虑如下例子：
例11-34 罗马不在意大利，或者巴黎不在法国（France）。
例11-19a 我的选举权不是可剥夺的。
例11-52b （L ∩ K） · （K ∩ L）
在假设玛丽亚是执业律师的情况下，她已经通过了律师资格考试。
例11-44 如果美国在其他国家没有代理机构，那么它就不是一个超级大国。
（2）与该命题中各个联结词相关的真值规则。
同样，因为“未婚”（unmarried）意味着“没有结婚”（not married），所以例11-20与例11-20a在逻辑上也是等价的：
例11-36a 要么她是该课程的主讲教师，要么课程表错了。
关于圆括号和其他标点符号的使用，我们将在后面做更多阐述。现在，让我们考虑为什么合取是一个真值函项联结词。这是因为，对于一个合取命题，只要给定其合取支的真值，依据如下规则，就可以确定该合取命题的真值。
注意，“P除非Q”也可以被表达为“如果并非P那么Q”。因此，“美国是联合国的一个成员，除非美国拒斥联合国宪章”，等价于“如果美国不是联合国的一个成员，那么美国拒斥联合国宪章”。
例11-44a ～O ∩ ～N
例11-37 中央情报局和联邦调查局都不容忍恐怖分子。
现在我们把上述条件式用符号语言来表达。用“M·”代表“玛丽亚是执业律师”，“E·”代表“她已经通过了律师资格考试”。如下公式表达了任何以“M·”为前件、以“E·”为后件的命题。它把“M·”放在最前面，然后是马蹄形符号，最后面是“E·”：
在这里，通过添加一个否定，简单命题 “罗素·克洛是一名演员”变成了复合命题。在例11-10a中，我们用波浪形表达一个否定，用C代表被它影响的那个简单命题。
一个复合命题的真值由如下两个因素确定：
玛丽亚是执业律师，只有当她已经通过了律师资格考试。
在一个实质条件式中：
例11-34a ～I ∨～F
例11-53 北京是法国首都，当且仅当比尔·盖茨是贫穷的。
例11-12a ～～L
例11-45a C ∩ （I ∨ ～N）
例11-36 她是该课程的主讲教师，除非课程表错了。
例11-39a ～C···～F
例11-15是例11-13的否定，而例11-16是例11-14的否定。在这里每一对命题均不可能有相同的真值。不过，逻辑上等价的命题会有相同的真值。例如，如果例11-17为真，那么例11-18也为真。
例11-9 罗素·克洛是一名演员。
实质条件式中的两个命题既可以是简单命题，也可以是复合命题。它们代表一个假说关系，其中前件和后件都不是被独立地断定的。例11-40断定玛丽亚是执业律师吗？不是。断定她已经通过了律师资格考试了吗？也不是。相反，在任意条件式“如果P那么Q”中，P和Q代表这样一种假说关系，使得P为真蕴含着Q也为真。为了质疑一个条件式，我们必须表明其前件为真并且后件为假。
注意，以“……不是真的”、“……是假的”、“……从来没有发生过”等形式表达的命题通常是一种否定，正如在英语中包含 “in-”、“un-”和“non-”等前缀的命题一样。例如：
析取也是一个满足交换律的联结词，可以用自然语言表达为“或者”，用符号表示为“∨”。相应的复合命题称为“析取命题”。在表达一个析取命题的时候，联结词通常放在两个命题之间，这两个命题都称为“析取支”。析取支既可以是一个简单命题，也可以是一个复合命题。下面是两个析取命题（分别用自然语言和符号表示）：
在这里，“不可剥夺的”（inalienable）意味着“不是可剥夺的”（not alienable）。例11-19在逻辑上等价于：
例11-33 罗马在意大利（Italy），或者罗马在芬兰（Finland）。
例11-12 并非玛丽不在图书馆。
例11-12b L
玛丽亚是执业律师，蕴含着她已经通过了律师资格考试。
充分条件和必要条件。在任意实质条件式中，前件是后件的充分条件，而后件是前件的必要条件。因此，“如果P那么Q”的另外一种方式是：P对Q是充分的，而Q对P是必要的。某个命题P为真的一个必要条件是指事情的某种状态：若没有它，则P不可能为真；但若仅仅依靠它自身，则并不足以使P为真。在例11-40中，“玛丽亚已经通过了律师资格考试”是“她是一名执业律师”的必要条件（如果她没有通过律师资格考试，那么她不可能是一名执业律师，尽管仅仅通过律师资格考试并不能保证她是一名执业律师）。某个命题Q为真的一个充分条件是指事情的某种状态：仅仅依靠它自身就足以使Q为真，但它并不是使Q为真的唯一途径。在例11-40中，“玛丽亚是一名执业律师”是“她已经通过了律师资格考试”的充分条件（意思是前者保证了后者）。
除了“或者”（or）之外，析取还可以由其他自然语言来表示，如“要么……要么……”和“除非”等。有时，析取被嵌入到否定中（例如“既不……也不……”）。这时，否定是主联结词。对于上述这些情况，请看如下例子：
前件是后件为真的充分（但不是必要）条件。
一个实质条件式为假，当且仅当它的前件为真并且后件为假；否则，它为真。
一个实质双条件式为真，当它的组成部分有相同的真值时成立，即它们要么都为真、要么都为假；否则，一个双条件式为假。
（1）它的组成部分的真值；
当例11-29和例11-30均为真时，所对应的事实并不完全相同：
依据上述规则，一个析取命题为真，该命题中至少有一个析取支为真。由此可知，例11-33为真，而例11-34为假。例11-35也是假的，因为它的两个析取支（均为复合命题）都为假。
因为勃朗峰在法国，所以例11-24的第二个合取支为假，这使得该合取命题为假。因此，在一个合取命题中，“假”类似于传染病，只要存在于一处，整个复合体就会被破坏。在例11-25中，两个合取支都为假，因为它们都是一个真命题的否定。上述两个命题可以用符号表示为：
例11-11 并非火星和木星都有水。
任意包含否定的命题或者命题公式都是复合命题。如下“真值规则”定义了否定。它们也可以用于确定包含否定的命题（或命题公式）的真值。
最后，一个真值函项析取是相容的，当两个析取支可能都为真；或者是不相容的，当只有其中之一可能为真。本书着重讨论相容析取，其真值规则已在前面给出。
在这些非真值函项合取命题中，事件的次序（即合取支的次序）的确有影响。我们再观察如下两个例子：
一个条件式由两部分构成：放在“如果”后面的是它的前件，而放在“那么”后面的是它的后件。
例11-20a 并非康多莉扎·赖斯是结了婚的。
在任意双条件式中，每个组成部分既是另一部分的必要条件，也是它的充分条件。因此，在例11-48中，“班克斯特是该学院的首席执行官”既是“她是这所学院的校长”的必要条件，也是它的一个充分条件。“她是这所学院的校长”既是“她是该学院的首席执行官”的必要条件，也是它的充分条件。因此，一个双条件式可以被理解为两个条件式的合取。这样，我们可以把例11-52表达为这两种情况中的任意一种：
一个实质双条件式是一种复合命题，又称“实质等值式”，或简称“双条件式”。相应的真值函项联结词可以用自然语言表示为“当且仅当”，或用符号表示为“≡”。双条件也可以用自然语言表示为其他形式，如：“恰好在……情况下”（just in case）、“等值于”（is equivalent to）、“当并且只有当……的时候”（when and only when）等，或者缩写作“iff”。一个双条件式的两个部分既可以是简单命题，也可以是复合命题。下面是一个由简单命题构成的双条件式，分别用自然语言和符号来表示：
在这里，“未婚的”（unmarried）并不是用来否定整个命题的。它只影响“结婚的”（married）这个词。
例11-43 中国在其他国家有代理机构，只要美国和中国都是超级大国。
合取是5个联结词之一。其他4个分别是否定、析取、实质蕴涵和实质等值。对于每个联结词，我们引入一个符号，并且给出一条真值规则。其中，真值规则用于确定由特定联结词构造而成的复合命题的真值。因为与每个联结词相联系的真值规则定义了该联结词，所以每个联结词都是“真值函项联结词”。不过，在多数时候，我们将它们简称为“联结词”，见表11-1。
回忆前面的例11-11：
合取是一个真值函项联结词，可以用自然语言表达为“并且”，用符号表示为“·”。相应复合命题称为“合取命题”。合取通常放在两个命题之间，这两个命题都被称为“合取支”。合取支既可以是一个简单命题，也可以是一个复合命题。接下来，我们来考察一些由简单命题经过合取而构成的复合命题。
例11-33a I ∨ F
例11-15 有些牙齿矫正医生不是高个子。
例11-38 并非“要么中央情报局容忍恐怖分子，要么联邦调查局容忍恐怖分子”。
例11-31 他看见她并且说“你好”。
例11-18 并非林肯没有被暗杀。
例11-29 他脱了鞋，上了床铺。
玛丽亚已经通过了律师资格考试，只要她是执业律师。
例11-14 没有牙齿矫正医生是高个子。
例11-41 如果中国是一个超级大国，那么中国和美国在其他国家都有代理机构。
例11-40a M ∩ E
例11-47a ～N ∩ （O ∨ ～O）
例11-47 如果美国不是一个超级大国，那么它“或者在其他国家有代理机构，或者在其他国家没有代理机构”。
注意，有时用于引出一个条件句后件的“那么”可以被省略。另外，除“如果……那么……”之外，自然语言的其他表述也可以用于引入条件句的前件或后件。这些表述可以出现在一个语句的后件之前、前件之前，或者它们二者之前。在下面的例子中，由双下划线标记的是前件，由单下划线标记的是后件：
假定玛丽亚是执业律师，则她已经通过了律师资格考试。
例11-23a M · J
最后，除了“并且”（and）之外，自然语言中还有很多表达合取的词，包括“但是”（but）、“然而”（however、nevertheless、yet）、“也”（also）、“另外”（moreover）、“而”（while）、“即使”（even though）和“尽管”（although）等。
例11-18是一种双重否定，即它是“林肯没有被暗杀”的否定。
例11-48 班克斯特博士是这所学院的校长，当且仅当她是该学院的首席执行官。
被否定影响的命题自身也可以是复合命题。例如：
例11-37是例11-37a的缩略表达：
例11-38a ～（C ∨ F）
例11-24a E ·～B
因为“既不……也不……”通常用于表达一个析取的否定，所以例11-37在逻辑上等价于：
依据如下术语，我们把下面的自然语言条件句翻译为用符号语言表示的条件式：
否定
这是一个复合命题，它是如下两个简单命题的合取：
最后要注意，尽管在英语中像“miss”、“violate”、“fail”等词语都有否定的意思，但它们不被用来表达否定。
例11-40 如果玛丽亚是执业律师，那么她已经通过了律师资格考试。
N = 美国是一个超级大国。
例11-22a E · B
例11-27 罗特韦尔犬是凶猛的狗，并且多伯曼犬也是凶猛的狗。
受一个真值函项联结词影响的任何命题都是复合命题；否则，它是一个简单命题。
例11-11 并非火星和木星都有水。
例11-46 如果“或者美国在其他国家有代理机构，或者中国在其他国家有代理机构”，那么美国和中国都不是超级大国。
例11-24 珠穆朗玛峰在中国西藏，但勃朗峰不在法国。
例11-22为真，因为它的两个合取支事实上都为真。但是，如果一个合取支为真而另一个为假，或者两个都为假，那么相应的合取命题就为假。对于例11-23，因为我们知道它的两个合取支都为假，所以该命题为假。同样，下列命题也为假：
例11-28 罗特韦尔犬和多伯曼犬正在互相发出吠声。
例11-33和例11-34都是析取命题，因此都是复合命题。析取是一个真值联结词，因为对于一个析取命题，只要给定其析取支的真值，依据如下规则，就可以确定该析取命题的真值。
一个合取命题为真，当且仅当它的合取支都为真；否则，一个合取命题为假。
例11-42 并非“如果美国在其他国家有代理机构，那么它是一个超级大国”。
例11-52a L ≡ K
例11-22 珠穆朗玛峰（Everest）在中国西藏，勃朗峰（Blanc）在法国。
例11-16 有些牙齿矫正医生是高个子。
例11-42a ～ （O ∩ N）
I = 中国是一个超级大国。
例11-11a ～（M · J）
例11-49 喜马拉雅山是一座山脉，当且仅当罗马教皇是英国圣公会的领袖。
在讨论每个联结词之前，请注意，通常只有一个联结词管辖一个复合命题，称之为“主联结词”。我们通过识别主联结词来确定一个给定的命题属于哪类复合命题：合取命题、否定命题、析取命题等。显然，当一个命题包含多个联结词时，确定哪个联结词是主联结词很重要。
例11-21 未婚夫妇也有获奖资格。
实质条件
例11-50 伦敦在英格兰，当且仅当波士顿在波斯尼亚。
析取
例11-19 我的选举权是不可剥夺的（inalienable）。
在形式化的过程中，我们遵循的规则是：
另外，需要注意的是，像例11-23一样，在日常语言中许多合取命题都是采用缩写的形式。例如：
例11-41a I ∩ （C · O）
例11-7 席琳·迪翁是一名歌手，罗素·克洛是一名演员。
例11-8 席琳·迪翁是一名歌手。
例11-45 中国在其他国家有代理机构，蕴含着：或者它是一个超级大国，或者美国不是一个超级大国。
为了表达否定的命题，否定符号通常位于被否定的东西之前。例11-12是“玛丽不在图书馆”的否定，而“玛丽不在图书馆”本身也是一个否定。这样，我们就有了一个双重否定：对本身是一个否定命题的否定。双重否定可以用命题公式表示为：
给定上述规则，为了使得一个双条件命题为真，组成它的命题必须具有相同的真值，即要么两者都为真、要么两者都为假。当一个双条件式的构成部分具有不同的真值时，该双条件式为假。例11-49～例11-51均为假，因为它们中的任何一个都描述了两个具有不同真值的命题。
因为两个否定互相抵消，所以例11-12a在逻辑上等价于：
否定是一个真值函项联结词，它一般被表达为 “并非”（即英文“not”），用波浪形符号“～”表示。否定能够影响一个命题自身。即便如此，在习惯上我们也把它当作一个“联结词”。在日常语言中，否定可以出现在一个陈述的任意部分。当一个否定加在一个简单命题上的时候，这个命题就成为一个复合命题。请考虑如下例子：
例11-52b是两个条件式的合取，其前件与后件互相蕴含。这就是为什么我们把实质等值关系叫作“双条件式”的原因。显然，该联结词满足交换律。
合取
例11-35 或者雪地（snow）防滑轮胎在热带是有用的并且空调（air conditioners）在冰岛是流行的，或者企鹅（Penguins）并非在寒冷中茁壮成长。
后件是前件为真的必要（但不是充分）条件。
然而，例11-28不是一个由两个简单命题组成的合取命题的简写，而是另一个简单命题，用于描述两种狗之间的一种特定的关系。
例11-13 所有牙齿矫正医生都是高个子。
当一个命题是另一个命题的逻辑否定的时候，这两个命题不具有相同的真值：当“P”为真时，“～P”为假；当“～P”为真时，“P”为假。例如，上述命题例11-11（即“火星和木星都有水”的否定）为真，而“火星和木星都有水”为假。在如下的例子中，例11-14不是例11-13的否定，因为这两个命题都为假。
例11-25 珠穆朗玛峰不在中国西藏，勃朗峰不在法国。
例11-35a （S · A） ∨ ～P
为了用符号语言来表达一个条件式，我们必须先列出它的前件，后列出它的后件，无论在自然语言句子中这两部分以何种顺序出现。
例11-54 “栎树是树木”与“老虎是猫科动物”在逻辑上是等值的。
例11-46a （O ∨ C） ∩ ～ （N ∨ I）
相反，以下双条件式都为真，因为在各种情况下其组成部分都有相同的真值：
