阿瑟在从现实生活中收集报酬递增率的例子的同时，也在设法用严格的数学方式来分析报酬递增率现象。“我当然不反对数学方法。我本身就是一个经常用数学的人。我反对的只是错误地运用数学，反对把对数学的运用变成只为了数学而数学。”他说，当数学被正确地运用时，它能极其清晰地澄清你的观点。这就像一个工程师，先有了一个设想，然后建立一个实用的模型。数学公式则可以告诉你，你的理论哪一部分可行、哪一部分不可行，也会告诉你哪些概念是必须的、哪些是多余的。 “当你用数学公式来推导某件事，你实际上是在提炼这件事的本质。”
这些问题使阿瑟深感困惑。他们怎么就会看不出来呢？问题在于，你必须看到这个世界的本来面目，而不是按照华丽的经济学理论所描述的观点来看待这个世界。这使他想起欧洲启蒙运动时期的医学实践。那时的医生只是从理论上学习医疗知识，极少接触真正的病人。对那时的医生来说，健康仅仅是件身体内部保持均衡的事：如果你是个脸色红润的人、或是个易怒的人、或是个随便什么样体质的人，只要你的体液能恢复平衡，你就能恢复健康。“但这三百年来的医学经验，从哈维发现血液循环、到分子生物学的出现，却告诉我们，人类器官是极其复杂的。这意味着，医生得把听诊器放到病人的胸口来听诊，对病例一个一个分别做出诊断。我们现在就是在听由这样治病的医生来给我们治病。”确实，只有当医学研究者开始注意到人体真实的复杂情况之后，医生们才有可能使医疗和用药真正发挥的治疗作用。
阿瑟非常喜欢这个厄塞罗时钟，他把这个时钟的图片制成透明幻灯片，这样他就可以放入幻灯机里，好在以后说明某些历史事件怎样导致某些产品碰巧占领了市场时举此为例。这张厄塞罗时钟的幻灯片总是能在讲座上引起反响。有一次他在斯坦福的一次讲演中用幻灯机显示这张图片时，一个研究生跳了起来，拿出这张幻灯片，把它反过来再放入幻灯机里，使时钟的走向正好反了过来，然后胜利地说：“你瞧，这是一个骗局。这时钟其实是顺时针走的！”多亏阿瑟这时已经做了一点关于时钟的研究，他还有一张用拉丁数字显示的沿逆时针方向移动的时钟的幻灯片。于是他把这张幻灯片放出来说：“除非你假设这钟上的数字是利奥那多·达芬奇倒着写出来的，否则你只能承认这时钟和厄塞罗钟都是逆时针走的。”
意义何在？
当然不是。能够预测固然很好，如果你能做到的话。但科学的实质在于解释，在于揭示大自然最基本的运转机制。这就是生物学家、地质学家和天文学家在他们各自的领域所从事的工作，这也正是他的报酬递增率所瞄准的方向。
阿瑟说，他对此坚信不疑。同样，他怀疑美国在“竞争力”上存在的一个严重问题是，政府决策人和企业总经理们对高科技市场的赢者能占有整个市场这一本质认识得太晚了。他指出，在整个七十年代和八十年代的很大一部分时间里，联邦政府根据常规经济学的教诲采取了“不干涉”经济的政策。可是常规经济学的教条并没有认识到抢在对方占领市场之前推出自己的优势产品的重要性。结果，高科技工业受到低科技工业和大批量生产的商品工业完全一样的对待。任何或许能使新兴工业得到尽快发展的“工业政策”都被嘲讽为是违背了自由市场经济。在任何领域都实行自由、开放的贸易一直是美国的目标和准则。根据一项在这个世界还是被大宗商品所垄断的时期所做出的反垄断规定，企业之间的合作仍会受到劝阻。到了九十年代，这种模式开始有了一点改变，但只是一点儿改变。阿瑟因此论证说，早就到了应该从报酬递增率的角度来重新思考常规经济学教条的时候了。“如果我们还想靠我们的知识来创造财富的话，我们就需要适应新的规律。”
嗯，也许他是对的。可六个月以后，当阿瑟在莫斯科做同样的演讲时，听众中一位凑巧在场的最高苏维埃成员站起来说：“你所描述的这些情况也许会发生在西方经济中，但在我们完善的社会主义计划经济里，不可能发生这样的事。我们总是能得到最佳结果。”
阿瑟说，这对于现实来说意味着，美国的政策制定者们在对某一类的问题做经济上的假设时必须非常小心，比如在美国对日贸易上，“如果你用常规经济学理论来假设，就会谬之千里。”几年前在他参加的一个会议上，英国经济学家克里斯托福·弗里曼（Christopher Freeman）站起来称，日本在家用电器和其它高科技产品市场上的成功是必然的。他说，只消看看这个国家低成本的资本、其投资谨慎的银行、其强有力的联盟、以及其在缺乏原油和矿物资源的情况下对技术发展的迫切需要就明白了。
当然，只要QWERTY键盘设计、蒸汽机车和轻水反应堆仅仅只是个别的、孤立的例子，众人的批评就总是能够否定仅仅由于历史事件的巧合而发生的市场锁定和报酬递增率，把它们视为非常态的情况。他们会说，正常的经济运转肯定不是那么混乱无序、那么不可预测。起初阿瑟也怀疑，也许他们是对的。在大多数情况下，市场经济是相当稳定的。直到很久以后，在一次为给研究生讲报酬递增率一课而做准备时，他才突然认识到为什么人们的批评是错的。报酬递增率决不是孤立的现象，这个规律适用于高科技领域的任何情况。
说阿瑟对这一全新的经济学观点充满了热情，还是个低调的说法。可是没过多久他就意识到，他的热情缺乏感召力，特别是对其他经济学家来说。“我以为，如果你干了件与众不同的，而且是很重要的事——我确实认为报酬递增率能够解释经济学中的许多现象，为这一学科指出了一个迫切需要指出的方向——人们会用臂膀把我抬起来，欢呼胜利般地将我高高托起。我的想象简直天真得不可思议。”
对阿瑟来说，他的话已经离题了。但那一天他的演讲时间已经到了。而且他举的关于时钟的例子也只是个猜测。但三周以后，他收到他在国际应用系统分析研究所的同事詹姆士·沃佩尔（James Vaupel）从他正在度假的佛罗伦萨发来的一张明信片。这张明信片上有一张佛罗伦萨教堂的时钟的图片，这个时钟是佩奥罗·厄塞罗（PaoloUccello）在1443年设计的。它的时针和分针正是沿逆时针方向移动的。（也显示24小时。）沃佩尔在图片的反面只写道：“恭喜你！”
同时，在高科技产品的用户中，群体使用标准化产品的倾向也导致了同样大幅度增长的报酬。阿瑟说：“如果我这条航空线买的是波音机，那我就要买许多波音机，这样我的飞行员就用不着重新去适应另一种机型了。”同样，如果你是一个办公室的经理，你会把办公室的微机都买成同样的型号，这样办公室的工作人员就都可以使用同一种软件了。其结果是，市场很快就被少数几样相对标准的高科技产品占据了。在微机产品中，IBM机和Macintosh占据了绝大部分市场，在商业性客机产品中，波音机、麦克唐纳和道格拉斯占据了市场。
11 月底的一天，他在国际应用系统分析研究所所在的哈波斯堡宫近处的公园里一边散步一边激动地对来自挪威的访问经济学者维克多·诺曼（Victor Norman）解释他的报酬递增率。突然，他泄气地发现，这个颇有声望的国际贸易理论家正迷惑地看着他：你谈的所有这些有什么意义呢？他从1980年开始在讲座和学术讨论会中介绍他的报酬递增率，也听到了和这差不多的反响。往往是有一半听众很明显地表现出对报酬递增率的浓厚兴趣，而另一半听众却不是困惑不解，就是表示怀疑，甚至表示出敌意。报酬递增率有什么意义呢？它和真正的经济学又有什么关系呢？
现在让我们拿高科技产品和粮食、化肥、水泥这样一些在几代人之前技术就已经成熟了的标准大宗商品来做一下比较。今天，这些商品的真正成本是人力、土地和原材料的成本，而这些是报酬递减率规律很容易发挥作用的领域。（生产更多的粮食要求农民开垦更多相对不太肥沃的土地。）常规新古典经济学已经将这些趋于固定、成熟的行业的经济发展状况做了相当完善的描述。“从这个意义上来说，报酬递增率并不能取代常规经济学理论。报酬递增率只适合于不同的经济领域。”
核能是另外一例。1956年，当美国开始民用核能研究时，专家们提出了许多设计方案：用瓦斯、用普通的“轻”水、用奇异的被称为“重水”的液体、甚至用液体钠来冷却反应堆。每种设计方案在技术上都有其优点和缺点。三十年以后回过头再来看这些设计方案，许多工程师都相信，高温气体冷却的设计会比其他方案更安全、更高效，而且会在公众和反对派对核能的使用开始担忧和反对之前就稳住人心。但当时事情演变的结果却是，技术的争执与最后的选择几乎毫不相干。当 1957年苏联发射了第一颗人造卫星之后，艾森豪威尔政府突然急于要建成反应堆，并使之立即投入运转——任何反应堆都行。当时唯一最接近能够使用的反应堆就是高密、高功效型的轻水反应堆。这种反应堆是海军为制造核潜艇而研制的一种动力设备。海军的设计因此而被扩大为商用性生产，并被投入使用。这就使轻水设计在技术上得到了进一步的发展。到了六十年代，这种设计在美国基本上取代了其它的设计方案。
“当时正好轮到我接下来发言。所以我就说，让我们来想象一下，如果泰国和印度尼西亚的经济已经起飞了，而日本的经济还在衰退落后的状况之中。常规经济学家们就会用同样的理由来解释日本经济为什么落后。资本的低成本意味着资本的低回收率——所以没有理由投资；为采取共同的行动而组成的政治联盟被认为是低效率的；集体决策意味着蹒跚迟缓的决策；而银行不是为了冒险而建立、而存在的。如果缺乏原油和矿物资源，这个国家的经济就会蹒跚不前。所以，日本的经济怎么能够发展呢？”
阿瑟说，最重要的是，报酬递增率再也不是奥地利经济学家约瑟夫·熊彼特（Joseph Schumpeter）所说的“无法分析的一片混沌了”。
而且，他知道如果他不用数学对他的报酬递增率做出分析，那么经济学圈子里有相当大一部分人就决不会承认他的理论，除了是一些事件的纠集之外还会是别的什么。看看先前他每一次介绍报酬递增率概念时所发生了些什么就清楚了。事实上，早在1891年，英国伟大的经济学家阿尔弗雷德·马歇尔（Alfred Marshall）已经在他的《经济学原理》（Principles of Economics）一书里对报酬递增率做了相当深入的探讨。他在这本书里也用很大篇幅介绍了报酬递减率。阿瑟说：“马歇尔对报酬递增率已有深思熟虑，但他没有数学工具来对此做充分的数学分析。特别是，马歇尔那时就认识到，在经济中，报酬递增率能够导致多种可能性的结果。这意味着，对经济学者来说，最基本的问题是要准确无误地知道为什么最终选择的是这种方案、而不是别的方案。而自从那以来，经济学家们恰恰就是在这个问题上被卡住了。在经济学家的眼中，只要哪儿出现不止一个均衡点，那么这件事的结果就会被认为是模糊不清的。结果没有任何理论可以解释某一个平衡点是怎样被选中的。而对此的不解，弄得经济学家们无法使自己适应报酬递增率的概念。”
阿瑟说，事实上，在某些条件下，你甚至可以用数学公式来表明，只要开始时无论哪一万幸运地得到几次机会，整个过程就能够导致任何结果。汽车买卖的最终结果也许是A型车占领了百分之四十的市场、B型车占领了百分之六十的市场，或者是A型车占有了百分之八十九的市场、而B型车只占了百分之十一的市场，或可以是任何一种结果，完全是偶然的结果。阿瑟说：“要显示偶然的事件在随机进程中是怎样不断积累，从而从众多的可能性中选择出其中一个平衡点，是我所干过的事情中最富挑战性的了。”但到1981年，阿瑟通过与他在国际应用系统分析研究所的同事、来自基辅斯哥诺霍德学院的约里·厄姆利夫（YuriErmoliev）和约里·凯尼欧夫斯基（Yuri Kaniovski）——“世界上最优秀的两位概率理论家”——的合作，他成功地做成了这件事。1983年，他们三人联名在苏联《控制学》（Kibernetika）杂志上发表了他们就此撰写的系列论文的第一篇。“现在，经济学家们不但可以看到某一种结果产生的整个过程，而且可以从数学推论中看到，一组组不同的历史事件是怎样导致了完全不同的结果的。”
阿瑟说，既然日本的经济确实很明显地发展了，那他就得用另一种解释来论证其成功。“我说，日本企业的成功不是因为日本企业具有美国和欧洲的公司所不具有的奇异特点，而是因为报酬递增率规律使高科技市场趋于不稳定、有利可图和可能被整个地占领，因为日本比其它国家更早、更彻底地明白了这一点。日本人是很善于向别国学习的，他们很懂得如何瞄准市场，他们将产品大批量地投入市场，趁报酬递增率的动力规律之机，使自己的优势产品迅速占领市场。”
毫不奇怪，这样的理由无法说服根本就不想被说服的人。比如1982年2月在国际应用系统分析研究所举办的一次讲座上，阿瑟在作完关于报酬递增率的演讲，回答听众问题时，一位来自美国的经济学家站起来愤怒地问：“请你举例说明，有哪项占领了市场的技术并不比它的竞争对手先进！”
阿瑟扫了一眼挂在课堂墙壁上的钟，因为这个讲座所剩时间不多了，与此同时他不假思索地说：“噢，时钟。”
因此阿瑟削尖了铅笔，开始投入工作。他需要的是一个能把报酬递增率动力规律揉入经济学中的数学框架。这个数学框架要能清晰地、逐步地表明，市场是怎样在多种可能的结果中做出选择的。“在现实世界里，最终结果不是碰巧发生的，而是积累而来的，是一个个小小的机会被正反馈扩大而来的。”1980年，阿瑟在与朋友和同事反复商榷之后，最终得出了建立在非线性随机进程理论之上的一组抽象的数学公式。他说，这些数学公式其实相当笼统，可以适用于任何报酬递增率的情况。但在概念上，这些公式表明的是这样一类情况：假设你要买辆小车（那时国际应用系统分析研究所的许多人买的都是沃克和菲亚特车），为了说得清楚些，假设只有两种型号的车可供选择，权且把它们叫做A型和B型。现在，你已经读了介绍这两种车型的小册子了，但这些介绍非常雷同，你读完后仍无法确定到底买哪种车好。这时你怎么办？你会像所有明智的人一样开始向朋友咨询。然后正好碰巧，纯粹是碰巧，你咨询的前两个、或前三个人说，他们开的都是A型车。他们告诉你这种车开着感觉不错。所以你就决定也买一辆A型车。
时钟吗？对。他解释说，我们今天所见的所有时钟都装有沿“顺时针”方向移动的时针和分针，但按他的理论来分析，也许曾经流行过和现在盛行的时钟不相上下的古老时钟技术，这些技术被深埋于历史的尘埃之中，只不过凑巧没能沿用至今而已。“据我所知，历史上有一个时期也许有时针和分针沿逆时针方向移动的时钟。这样的时钟在当时就像我们现在用的时针和分针沿顺时针方向移动的时钟一样普遍。”
但必须注意到，现在这个世界上又多了一个开A型车的人，那就是你自己。这意味着，下一个想向人咨询买车的人有了更多一点的机会碰上一个开A型车的人。所以这个人比你有更多一点的可能性会选择购买A型车。如果A型车有很多这样小小的成功机会的话，它就有可能占领市场了。
他说，看看像微软视窗这样的软件产品吧。这家公司为研制和推销第一盘软件花费了五千万美元。可第二盘软件只花费了——多少？材料费只有10美元。在电器、计算机、制药业。甚至航空宇宙方面的情况都同样如此。（研制第一颗B2炸弹的费用是210亿美元，尔后每枚炸弹的制作成本是5亿美元。）阿瑟说，高技术几乎可以被定义为“凝结的知识”。它的边际成本几乎为零。这意味着，你每生产一个拷贝，就会使生产成本更低一些，而且还不止这个，每生产一个拷贝，也是一个学习的机会。在生产微处理器集成电路块的同时也得到了经验的收益，诸如此类。所以，增长生产能够获得巨大的报酬。简而言之，整个生产体系是受报酬递增率规律支配的。
阿瑟在回忆1984年在哈佛大学肯尼迪学院的讲座上举轻水反应堆这个例子时说：“当时我说，这里有一个简单的例子可以表明，在经济中确实有由于历史事件而使某些在技术上处于劣势的商品凑巧占领了市场的现象，比如像轻水反应堆的广泛应用这件事。这时，一位颇有名望的经济学家站起来喊道：‘但是在完美的资本主义市场经济中，这种事不可能发生！’他用了许多术语，基本的意思是，如果把许多额外的假设也都囊括进来，完美的资本主义经济就能恢复亚当·斯密的世界。”
相反，假如这样一个个小小的机会换给了B型车的话，那你也许会选择购买B型车，那么B型车可能就会占优势，最终占领市场。
其实那时阿瑟已经能够给听众举出大量关于历史事件怎样使一些产品凑巧占领了市场的例子了。他有Beta与VHS竞争的实例，当然QWERTY键盘设计也是一例。但内燃机却是一个怪例。阿瑟发现，在上个世纪九十年代，当汽车工业还只是个想象时，汽油被认为是最没前景的动力燃料。而当时汽油的最主要的竞争对手，蒸汽发动技术，已经发展得相当不错了。蒸汽发动机既安全，又为人们所熟悉。而汽油不但很贵，而且发动时声音很大，具有易爆的危险性，很难提炼出有效等级，还要求使用一种复杂的新型引擎和机件。另外，汽油引擎先天就不能使汽油充分燃烧。如果当时事情的发展全然不同的话，如果蒸汽发动机在这九十年时间里能够像汽油发动机那样高速发展的话，那么我们现在生活环境中的空气污染也许会大大减少，我们对进口石油的依赖也会大大减小。
他认为，报酬递增率之于经济学，就像医疗诊断实践之于医学一样，都是朝着同样的方向迈进。他说：“重要的是要观察外面实际的、活生生的经济生活，它是相互依存的、错综复杂的、不断进化的、开放的系统，是一个像生物一样运转的系统。”
但当时确实是汽油发动机技术获得了发展的机会。阿瑟发现，这在很大程度上是由一系列历史事件造成的。比如在1895年，芝加哥时代先驱报组织发起了一场非马力车赛，结果以汽油为动力的德耶车（Duryea）一举获胜。德耶车是当时仅有的采用六个启动装置的两辆小汽车中的一辆。也许是这个动因促使兰塞姆·奥茨（Ransom Olds）终于在1896年将汽油发动机专利技术用于大批量生产曲锐型奥茨车（Curved－Dash Olds）。这项技术使汽油发动机克服了启动缓慢的毛病。后来，到了1914年，北美突然爆发了一场蹄嘴病，马饮水用的水槽纷纷被拆除了，而马槽是蒸汽发动机车加水的唯一地方。尽管那时斯坦利蒸汽机的制造者斯坦利兄弟（Stanley Brothers）已经研制出凝聚器和汽锅，可以使蒸汽机车无须开三十或四十英里就得加一次水，但已经为时太晚了。蒸汽机车再也没机会翻过身来，汽油机车很快锁定了市场。
那个提问者并没有被他说服。另一个颇有声望的美国经济学家接着站起来厉声说：“我无论如何也无法认为顺时针方向移动的时钟就锁定了市场。我戴的就是电子数控手表。”
在二十年代也发生了相似的情况。当时一些欧洲经济学家试图用报酬递增率概念来解释为什么城市会发展和集中成目前这种状况，为什么不同的城市（和不同的国家）会专营某些商品，比如鞋、巧克力或精巧的小提琴。阿瑟说，在二十年代，这些经济学家们所用的基本概念是对的，但他们缺乏的仍然是数学工具。“在概念不明的情况下，经济学走进了停滞不前的死胡同。”
但他很快就明白了，真正使他的经济学观点受到抨击的，是他的关于未来的结果是无法预测的观点。人们问，如果这个世界可以形成不计其数的可能的形式、如果最终形成的特有的经济形式只是不过出自于历史的偶然，那么你怎样对事情做出任何预测呢？而如果你不能对事情做出预测，那你又怎么能说你所从事的是科学呢？阿瑟不得不承认这个问题提得好。经济学家们很久以前就决意要使经济学成为像物理学那么“科学”的学科。这意味着，所有的经济现象都可以用数学的方法做出预测。他自己也是在很长时间以后才认识到，物理学并不是唯一的一种科学。难道达尔文因为不能预测物种在今后的百万年中将如何进化，所以他所从事的就“不科学”了吗？难道因为地质学家不能精确地预测下一次地震会发生在哪里、或哪一座山脉将会隆起，所以他们所从事的就不科学了吗？难道天文学家因为不能精确地预测哪一颗新星将会在哪个方向出现，所以他们所从事的也不科学了吗？
