5y+z=24， (5)
其方程如(c)所示。然后，用代入法，将中行与右行分别化成4y=17，4x=37，其方程如(d)所示。于是。可以看出，上述运算完全符合现代数学的矩阵理论：
其方程如(b)所示。以(5)式y的系数5乘(7)式，得20y+40z=195，以(5)式四次减之，得36z=99，以9约之，得4z=11。
《九章》方程术是世界上最早最完整的线性方程组解法。在国外，它最早出现在7世纪初印度婆罗门笈多(约公元598-？)的书中。在欧洲，则是法国数学家布丢在1559年提出的，比《九章》晚七八百年到1700年。
4y+8z=39， (7)
6x+9y+3z=102 (4)
以(1)式x的系数3乘(3)式，得
线性方程组解法，《九章》称为方程术，刘徽指出这是一种普遍方法，只是方法太复杂，才借助禾实来阐述。方程术的核心是通过直除法消元，逐步减少未知数的个数及方程的行数，最终消成一行一个未知数，然后再求第二、第三个未知数。所谓直除即直减：要消去乙行某未知数系数，便用甲行同一未知数的系数乘乙行所有的数，然后用甲行一次次对减乙行，直至乙行该系数为零。刘徽认为，用甲行某未知数系数乘乙行是齐，即使乙行所有项与欲消去的项相齐；用甲行对减乙行至该系数为零止是同，即使甲、乙两行的该未知数系数相同。就是说，直除法符合齐同原理。刘徽进而指出，“举率以相减，不害余数之课也。”(《九章算术·方程章注》)就是说，以方程的整行与另一行相减，不影响方程的解。这是方程消元法的理论基础。我们以《九章》方程章第1问为例说明之，并改用阿拉伯数字。以(1)式x的系数3乘(2)式各项，得
以(1)式两次减(4)式，得
以(1)式减(6)式，得
3x+6y+9z=78， (6)
