以云式减今式，以x除，并将y2=z2-x2，y=-x2+x+xz-z代入，便得到前式：x2+x-x2z+xz-z+xz2-2z2-2=0
以前式左行(-z+1)乘后式，(-z+1)x3+(2z3-2)x2+(-z3-3z2+2z+2)x+(2z3-2z)=0
与之相消，得-3x2+(4z+4)x+(-z2-4z)=0
由于朱世杰的文字过于简括，“互隐通分相消”所引用罗士琳细草，只是提供一个大体说明消元过程的例子。至于是否符合朱氏原意，不得而知。事实上，许多学者有不同的细草。
两者相消，得(z2-z-3)x2+(-z3-z2+3z+4)x+(2z3-2z)x=0
草曰：立天元一为勾，地元一为股，人元一为弦。三才相配求得今式
并将人元摆到天元上。互隐通分相消，得到(-z2+3z+7)x+(z3-3z2-7z-6)=0
z=5
以x乘前式，得(-z+1)x3+(z2+z+1)x2+(-2z2-z-2)x=0
以前式x2的系数(-z+1)及x乘左式，得(z3-4z2-4z+7)x3+(-z4+4z3+4z2-z-6)x=0两者相消为右式：(-2z3+5z2+11z+13)x+(2z4-5z3-15z2-13z-14)=0］
四元术的表示方法是常数项居中，旁记一“太”字，天元幂系数居下，地元居左，人元居右，物元居上，其幂次由它们与“太”字的位置关系决定，不必记出天、地、人、物等字，距“太”字愈远，幂次愈高，相邻两元幂次之积记入每行列的交叉处，不相邻之元的幂次之积无相应位置，寄放在夹缝中，如图33。一个筹式相当于现今的一个方程式，二元方程组列出两个筹式，三元方程组列出三个筹式，四元方程组列出四个筹式。这是一种分离系数表示法，对列出高次方程组与消元都很方便。可惜由于平面只有上、下、左、右四个方向，最多只能列出四元，高出四元的方程组便无能为力。
z4-6z3+4z2+6z-5=0
问题是：“今有股弦较除弦和和与直积等。只云勾弦较除弦较和与勾同，问弦几何？”即已知(a+b+c)÷(c-b)=ab，(-a+b+c)÷(c-a)=a，及勾股定理a2+b2=c2，求c。其解法是：(见第133—135页)
又以z乘前式(-z2+z)x2+(z3+z2+z)x+(-2z3-z2-2z)x=0
外二行相乘得(-z2+3z+7)(2z4-5z3-15z2-13z-14)=-2z6+11z5+14z4-67z3-130z2-133z-98
同样
两者相减应为0
四元术的核心是四元消法，即将四元四式消成三元三式，再消成二元二式，最后化成一元一式，即高次开方式。朱世杰《四元玉鉴》卷首的“假令细草”中列出了天元术、二元术、三元术和四元术的范例。谨将第3问“三才运元”的消法解释如下。
为右式。
内二行相乘得(z3-3z2-7z-6)(-2z3+5z2+11z+13)=-2z6+11z5+10z4-43z3-146z2-157z-78
x2+y2-z2=0(三元式)。
图33 四元布列将y=-x2+x+xz-z代入三元式，便得到后式：x3-2x2+2x-2x2z+4xz-2z+xz2-2z2=0
4z4-24z3+16z2+24z-20=0
［以前式左行(-z+1)乘此式，得(3z-3)x2+(-4z2+4)x+(z3+3z2-4z)=0
以左式x的系数乘前式，得到(z3-4z2-4z+7)x2+(-z4+2z3+9z2+10z+7)x+(2z4-5z3-15z2-13z-14)=0
-x2+x+xz+y-z=0(云式)。
以3乘前式，得(-3x+3)x2+(3z2+3z+3)x+(-6z2-3z-6)=0
为左式，(-2z3+5z+11z+13)x+(2z4-5z3-15z2-13z-14)=0
两者相消，得(-z2+3x+7)x+(z3-3z2-7z-6)=0为左式。
解：设x为勾a，y为股b，z为弦c，由已知条件列出x+y+z-xy(z-y)=0或-xy2+xyz-x-y-z=0(今式)。
四元术就是多元高次方程组解法，它实际上包括四元术表示法和四元消法两部分内容。
