图20 圆城图式
图19 勾股容圆勾股容圆在宋元时代成为重要的研究课题。人们考虑了各种容圆问题。元李冶便在洞渊九容基础上演绎出《测圆海镜》，除《九章》的容圆外，还有(见图20)：圆心在勾上且切于股、弦，称为勾上容圆，其直径d=2ab/(a+b)，同样，股上容圆d=2ab/(a+c)，弦上容圆d=2ab/(a+b)；圆心在勾股交点切于弦，叫勾股上容圆，d=2ab/c；切于勾及股、弦的延长线者称为勾外容圆d=2ab/(b+c-a)，同样，股外容圆d=2ab/(a+c-b)，弦外容圆d=2ab/(a+b-c)；圆心在股的延长线且切于勾、弦的延长线叫勾外容半圆，d=2ab/(c-a)，同样，股外容半圆d=2ab/(c-b)。以上共10种容圆关系，“洞渊九容”指哪9种，清代以来诸说不一。清李善兰又补充了勾弦上容圆d=2ab/b，股弦上容圆d=2ab/a，弦外容半圆d=2ab/(b-a)。这13种容圆直径的分母恰恰对应于杨辉的勾股生变13名图的各种关系，分子都是2ab。
勾股容方与容圆是《九章》勾股章的两个题目。前者是：已知勾股形勾5步，股12步，问所容正方形边长多少？《九章》的公式是d=ab/(a+b)。后者是：已知勾股形勾8步，股15步，问其中容圆之径多少？《九章》的公式是d=2ab/(a+b+c)。对这两个问题，刘徽都提出了两种方法证明之。以容圆为例。将勾股形从圆心分成朱、青、黄各部分，如图19(1)，将四个这样的勾股形拚成以d为宽，以a+b+c为长的长方形，如图19(2)，其面积为2ab，因此d=2ab/(a+b+c)。这是出入相补的方法。另一种方法是过圆心作一中弦平行于弦，中弦与勾、股及垂直于勾、股的半径形成两个小勾股形，如图19(3)。考虑其中一个，比如股上的小勾股形，设三边为a1、b1、c1，显然a1+b1+c1=b，而a1：b1：c1=a：b：c，因此可用衰分术：a1=ab/(a+b+c)。而d=2a1=ab/(a+b+c)。刘徽还提出
