按钮将往复运动无限距离的这个问题并不重要——实际上，按钮不需要走这么远。格林鲍姆和艾伦·贾尼斯（Allen Janis）做了一点改进，得到了升级版的汤姆森灯。改进之后的情况更有道理。
太阳是一颗恒星，在天空中，看起来有宽度的恒星仅此一颗。如果太阳与我们的距离增加到现在的10倍，那么它的外观表面积将只有现在的百分之一，亮度同样下降到之前的百分之一（根据很久以前就已确立的亮度递减公式）。如果太阳距离我们比现在远100万倍，它将变暗1万亿倍，它在天空中的大小将是现在的一万亿分之一。需要注意的是，在天空中，单位面积上的亮度保持不变，与距离无关。无论太阳距离地球多远，其单位表面积上的亮度都是固定的。奥尔贝斯意识到，这个简单的事实蕴含着一个悖论。
[3] 美杜莎为希腊神话中的女妖，任何人看她一眼都会变成石头。美杜莎是不能看的，所以“弊一眼”美杜莎是不可能的，作者以此类比“超级任务”，说明超级任务是不可能完成的。——译者注
阿道夫·格林鲍姆认为，这些讨论都没说到点子上。问题的关键是，在这1分钟结束时，灯泡是亮的还是灭的？即使灯泡烧坏了也不要紧，在这1分钟过后，我们总可以卸下坏灯泡，拧上一个新的，看看它亮不亮。
用“几何级数”这个术语来称呼这种级数并不恰当，把这种级数以几何指称既不形象又容易引起混淆。一个更恰当的术语是“指数级数”，这个名称源自“指数”这个术语。生长的有机体一般以指数增长为特征。无论是细菌的繁殖还是人类的繁衍，其共同特征是，新增个体数与总数成正比。复利存款也呈指数增长——这显然与这一事实有关：借方和贷方都是不断生长的有机体，他们创造了以指数状态增长的经济，而且，他们进行交易时依据的货币处于呈指数增长的通货膨胀中。
[1] 在一间屋子里同步运行圆周率机和汤姆森灯，屋子里没有其他光源，在闪烁的灯光的照明下可以见到圆周率的所有奇数位数字。
当然，这条直线也许在延伸数十亿光年之后才与某星体相遇。关键在于，在一个散布着星体的宇宙中，这条直线最终必定遇到一个星体。这就好比，如果我们在轮盘赌上玩足够长的时间，那么所有号码最终肯定都会出现，不会有例外。
请注意：如果试图以更具物理上的可实现性的方式设计三种无限机器中的任何一种，都会导致一个结论——最后的结果是不可见的（或不可闻的）。许多哲学家认为，在涉及无限机器、超级任务以及只有通过超级任务才能了解的事实时，总是有些可疑的东西。
利用物理学可以简单地解决这个悖论。一方面，原子中的电子会散射可见光。电子可以像波一样在空间中展开，实际上，整个原子被电子“笼罩”和“覆盖”着。另一方面，电子可以被当作一个无限小的粒子，永远无法进入其内部。原子核中的质子和中子不散射普通光。[4]
在最古老的关于无限的悖论中，有一些归功于埃利亚的芝诺（生活于公元前5世纪）。芝诺在一本书中（大约写于公元前460年左右）记录了他的悖论，此书已失传。芝诺好辩，乐于证明时间、运动以及其他我们习以为常的东西并不存在。他最著名的悖论是这样的：善跑的阿基里斯与乌龟赛跑。乌龟在阿基里斯前面起跑，比方说，领先1米。为了追上乌龟，阿基里斯必须先跑到乌龟的出发点。当他到达这个位置时，乌龟已经往前跑了一段较短的距离——10厘米。现在阿基里斯必须再跑10厘米才能追上乌龟，但是与此同时，乌龟又往前跑了1厘米。以上分析过程可以无穷延续，乌龟领先阿基里斯的距离会越来越短，但是阿基里斯永远也追不上乌龟。
我们看一下，多少粒麦子才能满足达希尔的要求。这个总数是1+2+4+8+…，换一种写法，即20+21+22+23+…262+263。（这个级数的最后一位是263，不是264，因为第一个方格中的麦粒数是20，即1。）
下一章将讨论多项式时间问题与指数时间问题的差别以及这个问题与悖论的关系。现在，我们来研究两个质疑时空无限性的悖论。
在复杂性理论中，表示一个问题的困难程度的最常用的标准是解决此问题所需的时间。不用说，每个人的工作效率是不一样的，计算机也各不相同。同样重要的是，针对同一个问题，算法可能不止一种，而某些算法比其他的更快。解决各种类型的问题所需的时间差异如此之大，这使得计算机与计算机之间（以及人与人之间）的计算速度的差别已经不重要了。
[4] 原著此处有笔误，译文已更正。——译者注
指数增长可以用简单的数学函数描述。所谓函数是从一个数转换为另一个数的过程。你可以把函数理解为袖珍计算器上的一个特定的键。你先在计算器上输入一个数，然后摁这个键，得到一个新的数。例如，开平方函数（许多计算器上都有开平方键）会产生一个数，此数乘以自身后得到最初输入的那个数。如果先输入36，再摁开平方键，得到6。
因感动于达希尔的谦虚，国王收回成命，转而下令拿来一袋麦子，按照达希尔的要求仔细地数出麦粒来。当国王的仆人们对付第12个方格时，他们就已经无法把所有的麦粒放进方格里了，只好把大臣应得的麦子在棋盘旁堆成一堆。国王吃惊地发现，第20个方格还没被满足，一袋麦子就耗尽了。他下令取来更多的麦子……最后所有的麦子都用完了。他的王国的所有麦子加在一起也无法满足达希尔的要求，不仅如此，全印度乃至全世界的麦子加在一起也不够用。
皮亚诺机有一个独特的问题：数字的读法越来越复杂。干净利落地读出一个100位的数也要花很长时间。贾尼斯建议不采用日常语言的读法。他的方案是，设计一个编码方法，让每一个数对应一个频率确定的音调，然后用哨音把数字“吹”出来。
这就是奥尔贝斯悖论。当然，整个论证显然是错误的。这个悖论令奥尔贝斯闻名，但他并不是最早沿着这个思路设想的人。托马斯·迪格斯（Thomas Digges）、埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）、埃德加·爱伦·坡（Edgar Allan Poe）以及其他人也曾关注过这种观点，但是它在几个世纪的时间里一直没有受到重视。显然，和前文讨论的无限机器一样，这个悖论针对一个无限性的问题（宇宙是否无限）提供了一个短平快而轻佻的答案。
罗素的论证以乔治·康托尔（George Cantor）的无穷数理论为基础。如果在两个无穷量之间可以建立起一一对应关系，则这两个量相等。例如，数学家认为，所有正整数[5]（0，1，2，3，4，5…）的个数与所有偶数（0，2，4，6，8，10 …）的个数相等，虽然有些人可能认为，前者是后者的2倍。二者相等，因为任何一个正整数n可以与一个偶数2n配对，而如此配对不会遗漏任何偶数。
然而，试图解答汤姆森灯这个谜题是可笑的，因为这个问题等同于判定最大的整数是奇数还是偶数！
在奥尔贝斯的时代，大多数天文学家认为空间的无限性是理所当然的。奥尔贝斯对无限时空的反对被当作痴人说梦，他也因此而闻名。假定宇宙是无限的，而星体（还有星系，虽然奥尔贝斯那个时代的人还不知道星系）在各个方向上从中心向外无限延伸出去。在这种情况下，从地球发出的一条直线（无论其方向如何）必将与一颗星体相遇。
从几何的角度看，沙利耶的解释是可以成立的。唯有一个原因使这个理论失败：它似乎无法解释已经观测到的天体层级结构的相对距离和大小。附近的星系虽然朦胧模糊，但是比附近的恒星大得多。仙女座星系非常昏暗，但是视直径是太阳或满月的数倍。南方天空的麦哲伦星云（距我们的星系最近的两个星系）的大小相当于一颗距我们一臂长的柠檬的大小。附近的星系团甚至更大。例如，肉眼不可见的室女座星系团占满了整整一个星座区域。
需要强调的是，某些问题可以用“多项式时间”解决，而另一些问题需要“指数时间”。这意味着，解决一个问题所需的时间可以表达为关于问题的规模（或复杂度）的一个多项式函数（或指数函数）。如果一个问题需要指数时间，则通常会令人绝望。无限机器也许只是胡思乱想，但是指数时间问题却是真实而普遍存在的。解决这类问题需要数量接近于无穷多的步骤——即使问题出现在有限的宇宙中。
现代人对奥尔贝斯悖论的解决诉诸一个20世纪以前还不为人知的事实：宇宙处于膨胀中。所有我们可见的星系都在以巨大的速度远离我们的星系。我们无法直接测量这种运动，但是它造成了从这些星系发出的光的改变，我们接收到的光透露了关于运动的信息。如果不假设这种运动，这种光的变化是无法解释的。位于天空中每一个确定区域的星系都在离我们远去；在地球另一面的天空中，星系也在离我们远去，只不过方向相反。
根据宇宙膨胀假说，不需要假定我们的星系或它在宇宙中所处的位置有何独特之处。那些在遥远的星系中的居民也会发现，自己处于膨胀“中心”。这个假说不需要假定我们的星系是特殊的，由于少了这个无关要求，所以这个假说更好。
现在回到奥尔贝斯的宏观悖论。关于这个悖论的任何解决方案都必须立足于三个前提：宇宙是无限的；星体随机分布；没有任何东西能够阻止远方的星体发出的光被我们看到。这三个前提是预设的。
人们对待时间和空间时，会在潜意识里使用双重标准。时间的无限性似乎与空间的无限性略有不同。我们很自然地认为，空间向各个方向无限延展（或许这是文化传承的结果？），而时间则被认为仅在未来的方向上是无限的。我们追问时间的起点，但是很少追问空间的起点。
对这一现象的一种解释是，我们的星系是“特殊的”，它处于宇宙的中心。另一种解释同样可以很好地解释这个现象：整个宇宙都在膨胀。这种说法很方便，但是有点儿容易引起误解。这种膨胀不是庞加莱所说的那种完全均匀的膨胀，而是以长度标准不变为基础的膨胀。地球和银河都没有变大，也许甚至本星系群也没有变大。但是星系团之间的距离却越来越大。从理论上说，我们可以用尺子测量星系间的距离膨胀值，因为尺子并没有膨胀。
许多函数的增长还要更快。马尔萨斯的悲观论点立足于一个事实：指数函数的增长超过任何多项式函数的增长。在一个指数函数中，某一个特定的常数以n为指数（而非n以某个常数为指数）。f（n）=3n是一个指数函数，它表示3自乘n次。当n为2时，3n即32，等于9。当n为1时，结果即等于底数（这个例子中是3）；当n为0时，无论底数是多少，结果都定义为1。于是，对应0，1，2，3，4……的函数值分别为1，3，9，27，81……每一项的值等于前一项的3倍。底数越大，函数值的增长越快。对于10n，每一项是前一项的10倍；而对于1 000n，每一项是前一项的1 000倍。
改进版的汤姆森灯有一个更严重的问题：在1分钟之后灯是开是灭已经不是问题。在操作过程中，按钮的底部与电路之间的距离越来越小，最终恰好停在电路项上。（就好像一只球在地板上蹦，最终落在地板上。）改进版的汤姆森灯在操作结束时一定是亮的。修改开关的结构就会导致这种令人不满的结果。这个改进版的汤姆森灯与原来的汤姆森灯有关系吗？——确实成问题。
每个人都知道，从物理的角度看这种灯显然是不可能存在的。然而，我们的想象力并不受凡俗的物理学束缚，关于此灯的操作描述已经达到了最大可能的逻辑精确性。为了判定灯是开是灭，我们已经获得了全部的必要信息——看来这是不可辩驳的。此外，灯要么开要么灭——看来这也是不可辩驳的。
克雷格以及其他人用这个颠倒版的悖论证明，无限的过去是不可能的，虽然这个证明不那么令人信服。罗宾·斯莫尔（Robin Small）针对颠倒版的香迪悖论提出了一个合理的答案。答案是：实际上在特定日和特定年之间不可能建立一一对应。
如果宇宙是无限的，所有这些光的总量是一个无穷级数的和，大致为x+x+x+x+x+…，其中x表示从每个壳层发出的光。这种类型的无穷级数不收敛，求和时便会推出无限。
每一天对应一年，每一年对应一天。如果香迪的写作工作持续至今，到1988年，他将进展到1700年9月的事件。按部就班且不死的香迪将在大约106 840年时记录下今天（即本书作者写下本段的日子）的事件。对于任何一天，香迪在未来都有指定的一年去记录它，绝无例外，因此，罗素说：“他的传记不会遗漏任何部分。”即便如此，香迪的写作工作将越来越滞后。他每写一年，距离最后竣工就远了364年！
这种不安并非新问题。希腊哲学家卢克莱修（Lucretius）认为，他的论证足以证明空间是无限的：假定空间是有限的，那么空间则有一个边界。如果让某个人达到这个终极的边界，把一支标枪掷过边界，那么这支标枪要么穿过边界，要么被什么东西挡住——某个本身必定在边界外的东西挡住了它。无论是哪一种情况，都说明在边界外存在某种东西。以上操作可以不断重复，推动这个所谓的边界无限倒退。
很少有宇宙学家怀疑这个悖论可以用宇宙膨胀合理地解释，但是还存在一个更简单的解释。1720年，埃德蒙·哈雷（Edmund Halley）写道，天空的黑暗反驳了星体有无限多的观点。今天，许多宇宙学家相信宇宙确实是有限的（虽然他们的出发点不同于奥尔贝斯悖论）。广义相对论提供了一种解释，使得有限的宇宙不必有一个令人难以接受的“边界”。空间自身是可以弯曲的，这个三维结构可以类比成一个球的表面。在地球上，如果你走得足够远，无论朝哪个方向，你都会回到出发点。空间本身也许同样如此：一艘火箭如果沿一条直线飞行得足够远，它将回到发射点。
然而，几何级数的增长超出世间的任何限制——对于财富或任何其他东西都是如此。达希尔要求以麦粒为单位来赏赐，麦粒的价值与金块相比微不足道，但是这个事实对最终结果几乎没有影响。
我们来看一下以上知识对奥尔贝斯悖论的论证有何影响。设想我们把整个宇宙空间划分为以地球为中心的一系列同心球壳层。由于光的强度与距离的平方成反比，我们从各个壳层接收到的光（平均而言）强度相同。所有距太阳系10光年以内的星体发出的光应当与距离在10光年至20光年之间的星体发出的光强度相同。距离在30光年至40光年之间的星体，乃至于距离在1 000 000光年至1 000 010光年之间的星体也是如此。
关于无穷机器的某些讨论关注操作细节。虽然机器的实用性似乎与讨论无关，但是略微分析一下细节也许有助于发现其中的逻辑困难。阿道夫·格林鲍姆（Adolf Grünbaum）分析了这三台机器。
把按钮画成一个垂直的圆柱，其底部是导电的。当按钮被完全摁下时，圆柱的底部接触电路的两个裸露电极，电流流过圆柱底部，点亮灯泡。
注重实际的人也许会对无穷机器的想法表示质疑。关于超级任务的哲学讨论就好比医生为一种并不存在的疾病寻找疗法。然而，超级任务可以和真实世界中的某些过程类比。这些问题表现出来的奇特状态只有通过由一系列离散的动作组成的无穷（或接近无穷）的序列才能得到解答，这是值得研究的。
一种解决方案是，假定星体的分布类似于上一节讨论的亚原子物质的分布。这两个悖论交相辉映，合在一起考虑则两个问题都可解决。为了解决奥尔贝斯悖论，瑞典数学家沙利耶（C. V. L. Charlier）提出，星体不是任意地散布在各处，而是聚集在层次分明的体系里。现在我们知道，我们附近的星体都属于一个星系——银河系，而银河系本身是一个星系群（本星系群）的一部分。本星系群是一个更大的结构体的一部分，这个结构被称为本超星系团。这个本超星系团又是双鱼座—鲸鱼座超集结综合体的一部分……如果有一天有人宣布双鱼座—鲸鱼座超集结综合体是一个更大的物体的一部分，我们也不会太吃惊。
遗憾的是，格林鲍姆和贾尼斯的改进还是不能彻底挽救汤姆森灯。按钮在往复运动的过程中需要加速和减速，而加速度会超过任意的固定值。看起来，无限大的加速度毕竟比无限大的速度容易接受，但是……任何物理对象都只能承受一定限度内的加速度。在某一时刻，加速度肯定会摧毁按钮，其效果就和用锤子砸碎的效果一样。
在夜空中，其他星体只呈现为针孔大小，但是这些针孔（平均而言）与太阳表面一样亮。光沿着直线传播，如果从地球出发的一条直线与某颗星体相遇，我们可以见到这颗星体发出的光。如果从地球出发的每一条直线都与某颗星体相遇，那么整个天空应当充满相互交叠的星体光盘，每个光盘都与太阳的光盘一样明亮，所有光盘交叠在一起，遍布整个苍穹。这幅图景就好像太阳是一个空心的球体，而我们位于球体的中心。阴影之类的东西不会出现，也不会有所谓的夜晚——夜晚其实就是阴影。
1吨麦子大约包含1亿粒麦粒，因此，所需的麦粒总量大约为2 000亿吨。现在（指本书成书时的1987年）全世界小麦年产量仅有4.6亿吨。国王欠下达希尔相当于4个世纪的小麦产量的债务（以现在的年产量计）。显然，当时的小麦产量还比现在低得多。（我们不知道这个故事发生在多久以前，因为国际象棋的发明时间不能确定。和篮球一样，国际象棋发生过几次变革，此外，我们不知道历史上是否确有达希尔其人。）
沙利耶表明，在这个无穷无尽的层级结构中，即使星体的数量是无限的，悖论也可以避免。例如，也许某个由星系构成的超超超星系团离我们过于遥远，以至于在我们的天空中，它的图像恰好被隐藏在大角星或参宿四之类的微小天体后面。应当有一些超超超星系团和超超超超星系团距离我们极其遥远，这使得它们看起来甚至更小。根据沙利耶的设计，在大多数方向上，我们的视线无限延伸以后也碰不到一颗星体，因此，夜空是黑暗的。
按钮起落无穷多次，但是每一次移动的距离都是上一次的1/4，就像是一只弹性不大好的球。在整个操作中，按钮移动的总距离同总时间一样，是个有限数。移动速度是常数，比光速小得多。
飞矢不动悖论值得深入思考。我们把这个问题移植到现代语境中。假设有一支箭，它是由原子构成的。它在相对论情境下的时空中运动，我们在一个惯性参照系中对它进行测量。在这种表述中，我们以日常含义使用“时间中的一个瞬间”这个词组，和芝诺一样。我们依然接受因果关系：将来是由现在决定的，而现在是由过去决定的。（除了在量子层次上——我们可以暂且忽略这种考虑吧？）在完全静止的一个瞬间，一支飞行的箭与一支静止的箭有何不同？看来这支运动的箭上一定附着了一些信息以区别于静止的箭。否则，它怎么“知道”在下一个瞬间会疾射向前？
以上这些函数都不算大。任何一个常函数，即f（n）等于一个固定值的情况，最终一定会被一个与n成正比的函数超过。同样明显的是，这两种函数都会被与n2成正比的函数超过。与n3成正比的函数最终会增长得更快。类似地，对于与n4、n5、n6等成正比的函数，也是如此。
无限——完全就其本意来说是不可理解的，但是趋近于无限的情况随处可见。有一个印度传说，什里姆国王（King Shirim）曾经落入西萨·本·达希尔（Sissa Ben Dahir）的圈套。达希尔是国王的大臣，发明了国际象棋。国王钟爱这一游戏，决定重赏发明者。因为国际象棋棋盘有64个格子，国王决定为每个格子赏赐达希尔一块金子。达希尔礼貌地谢绝了这份赏赐，恳请国王以另一种方式奖励他。他请求国王在棋盘的第一个方格上放一粒麦子，在第二个方格上放两粒麦子，在第三个方格上放四粒麦子，依此类推，每个方格上的麦粒数是上一个方格的2倍，直到棋盘的每一个方格上都分配了麦粒。
f（n）=67n+381
我们很自然地想知道，哪种动物最大、什么动物的运动速度最快。同样，数学家也想知道，哪一种函数最大，或者增长得最迅速。有些函数胜过其他函数。如果在n足够大时，一个函数的值总是大于另一个函数，那么我们说前者比后者大（或者说增长更快）。例如，函数A是A（n）=1 000 000 000 000 000，而函数B是B（n）=n，则在很大一段区间里b较小。但是当n取大于1 000 000 000 000 000的任意数时，B（n）都大于A（n）。因此，B（n）的增长比A（n）快。
罗素的特里斯特拉姆·香迪悖论（Paradox of Tristram Shandy）巧妙地利用了“无限未来”这个概念。特里斯特拉姆·香迪是劳伦斯·斯特恩（Laurence Sterne）18世纪60年代的漫游小说《香迪传》中的健谈的故事讲述者。罗素写道：“如我们所知，特里斯特拉姆·香迪用了两年时间来记录他的生活中的头两天的历史，然后他抱怨道，按照这种速度他永远也写不完。但是我认为，如果他可以永远活下去，而且坚持不懈地写下去，那么，即使他的一生始终像文章开端那样充满需要记录的内容，他的传记也不会遗漏任何部分。”
但是，如果他在1987年记录1986年12月31日，那么他不得不在1986年记录1986年12月30日……我们可以设想的任何一种对应方式都会遭到反驳。所谓的香迪一直在写的那一天将向过去无穷倒退。它不可能是任何一天。
根据大多数当代宇宙模型的预言，如果宇宙中的物质密度达到或超过一个确定的限度，那么宇宙就是这样一个有限的宇宙。已观察到的可见物质（星体）的密度低于这个限度，但是据推测，存在着足够多的不可见物质（星际间的氢、黑洞、中微子？）以建立一个有限的宇宙。关于遥远的星系和类星体的“引力透镜”效应的研究支持了有大量不可见物质存在的想法。
“圆周率机”更令我们不安。这是一种神奇的机器，其外观像老式的收银机。打开这台机器，它开始迅速地计算圆周率的各位数字（圆周率是直径为1的圆的周长）。在古希腊、罗马时代，人们就已经知道圆周率是一个无限小数：3.141 592 65……圆周率计算每一位数字所需的时间等于计算上一位数字的时间的一半，通过这种方法计算所需的时间得到压缩。每当一位数字被确定，这个数字立刻会弹入机器顶端的一个窗口中。在任意一个时刻，只有刚刚得到的数字会出现在窗口中。
为了使这个悖论成立，我们必须假定自己有一种超级视力：当且仅当从你的眼睛出发的一条绝对直的几何直线遇到一个被物质占据的点时，你就会看到东西。这样，当你看一个核桃壳时，你看到的不是核桃壳，而是成千上万的由电子和组成电子的夸克（或者组成电子和夸克的终极的亚粒子）构成的点。每个东西看起来都像是不规则的尘埃碎片。由于我们看不到单独的、无限小的点，所以每个东西都应当是不可见的。
如果香迪用1988年记录1987年12月31日，那么他必须用1987年记录1987年12月30目，这又是不可能的。实际上，在1987年他不能记录1986年12月31日以后的任何一天。
每当灯应当点亮时，按钮接在连通的电路上；每当灯应当熄灭时，按钮以恒定的速度沿上下方向做一个短程运动。每一次按钮弹起的距离仅限于时间允许的范围内，而运动速度是固定的。
在最初的30秒中，按钮压在电极上，灯泡是亮的。再过15秒，灯泡关闭。按钮先用7.5秒向上弹起，又用7.5秒回落。然后，按钮在电路上停留7.5秒，这段时间电路接通，灯泡又亮了。再往后，按钮用1.875秒向上弹起，用1.875秒回落，灯泡保持熄灭3.75秒。
1826年，德国天文学家海因里希·威廉·奥尔贝斯（Heinrich Wilhelm Olbers）意识到宇宙中有些东西似乎不对劲。天文学作为科学的一个分支，不能回避无限的问题。物理宇宙要么是无限的，要么是有限的。但是对于大多数人来说，这两种可能性都不容易被接受。
例如，在这1分钟刚开始时，游标位于刻度1，而1的倒数是1，机器用厚重的男中音朗读“1”。30秒过后，游标位于刻度0.5处，0.5的倒数是2，机器朗读“2”（声音已经变成男高音）。又10秒过后，机器用女低音读“3”。又5秒过后，是女高音的“4”。
在设计圆周率机和皮亚诺机时也会遇到一些问题，有的与上面的问题类似，有的则不是。［顺便说一句，皮亚诺机的名字是格林鲍姆起的，是为了纪念意大利数论家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）。］圆周率机的问题是，计算圆周率的数字的过程怎么可能这么快。下文将提到，计算速度如同运动速度一样，是有上限的。在数字向窗口中弹出的过程中，为了避免运动速度达到无限，运动的距离必须递减。最终，我们将无法判断正在显示的是哪个数字。圆周率机可以换一种显示模式，每个数字被打印出来，数字的字体表现为超现实主义风格：每个数字的高度是上一个数字的一半。全部计算结果可为一张索引卡片所容纳。但是有一个问题：即使用最强大的电子显微镜也看不出最后一位数字是几。
[2] 这是一个等比数列，首项为100，公比为1/10，因此前n项之和为100（1–1/10n）/（1–1/10），当n趋于无穷时，结果即为111又1/9。——译者注
就本书的讨论范围而言，我们更关注当代人的“无限机器”悖论。这些悖论是在芝诺的启发下诞生的。他们质疑的是知识，而非运动学。关于无穷级数的现代理论无助于解答这些问题。每台机器的操作都属于超级任务，其动作涉及无限。然而，这些动作可以被清晰地描述——尽管完成动作本身也许是不可能的。在每个例子中，超级任务允诺我们瞥一眼不可知的事物——例如希腊神话中的美杜莎。[3]
在芝诺发明的悖论中，“飞矢不动”悖论更令人困惑。一支箭在空中飞过。在时间历程中的任意一个瞬间，这支箭是静止的。在这个瞬间，箭就像处于一张静止的照片中，或者说，就像是从拍摄飞箭的电影中截出的一个孤立的画面。时间是由无穷多个这样的瞬间构成的，既然在每个瞬间箭都是纹丝不动的，箭的运动又何在？
以2为公比的几何级数的和总是等于最后一项的2倍减1，再用这个差乘以数列的第一项。例如，20+21+22（=1+2+4）等于23减1（即8减1）。所需的麦粒的总数是264–1，等于18 446 744 073 709 551 615。
这个故事的寓意在于，永远不要低估几何级数。当然，从民间故事里挖掘出数学含义有点奇怪。根据国王最初的想法，赏给达希尔的金子直接和棋盘包含的方格数成正比。如果达希尔设计的棋盘不是64个方格，而是81个、49个或者其他数字，从国王的角度说都没有太大的差别。区区几块金子与国王的财富相比，算得了什么呢？
“汤姆森灯”［得名于詹姆士·F·汤姆森（James F. Thomson）］看起来与其他灯没什么两样，由一个按钮开关控制。摁一下按钮灯亮，再摁一下灯灭，再摁一下灯又亮。一个超自然的精灵喜欢这样玩这盏灯：把灯点亮1/2分钟，然后熄灭1/4分钟，再点亮1/8分钟，而后熄灭1/16分钟，依此类推。“1/2+1/4+1/8+……”这个级数是我们熟悉的，它最终等于1。因此，到1分钟的最后一瞬为止，这个精灵摁了无穷多次开关。在最后一瞬，灯是开着的，还是关着的？
太阳无处不在，阳光永恒地照耀。也许你会认为，某些黑暗的对象会挡住星光，让我们无法看见。但是在这种环境下，不可能有任何黑暗的东西，所有东西都会吸收、传播或反射光（通常三种情况都有），任何吸收光线的东西（如月球、星尘、这本书、你的眼睑）都会吸收热量，直到其温度达到星体本身的平均温度，而后他们将发出同样强度的光。任何完美地传播光线的东西（一块理想状态下的玻璃）都是完全透明的，不会产生任何阴影。那些反射光线的东西（比如镜子）应当反射出与背景同样耀眼的光，让我们分辨不出来。
在这1分钟接近结束的时候，朗读声变得迅速而猛烈。声调逐渐增高，尖锐到人耳听不到的程度。有一阵子狗会发出呜咽声，狂躁地用爪子刨地……而后狗的耳朵也听不见机器的朗读声了。在这1分钟结束的时候，每个自然数都被这个机器朗读出来了。
把望远镜倒过来看，你会见到有趣的图景。类似的想法可以导致一个悖论，这个悖论可视为芝诺“反对‘多’的悖论”的升级版。我们知道，即使最短的线段也包含着无穷多个点。这么说，一个核桃壳内部也存在着无限的空间，如同辽阔的星际一样不可测量。
如果计算第一位数字需要30秒，那么计算圆周率的所有数字所需的时间为1分钟。[1]不仅如此，在1分钟结束时，机器将如假包换地显示出圆周率的最后一位数字！当然，这纯粹是痴人说梦，因为圆周率的最后一位数字不存在。
实际上，罗素版的悖论和克雷格版的悖论都不难解决。罗素从来没说香迪终将完成他的手稿。罗素的意思是，我们无法找到香迪不能记录的一天。香迪的“最后”一页始终是一个遥不可及的海市蜃楼。
假定现在是1988年12月31日午夜，香迪刚刚完成他的手稿的最后一页。在过去的一年里，香迪记录的是哪一天的事？不可能是这一年中的某一天。（否则就意味着，在这一年中这一天以前的时间里，香迪已经开始记录尚未到来的一天。）在1988年，他可以记录的最邻近的一天是1987年12月31日。
[5] 原文为“整数”，应为笔误。——译者注
“时间在过去的方向上是无限的”并不是一种广为接受的观点。不过，这个观点可以“回答”“世界是何时以及如何被创造的”之类的问题，因为如果时间在过去的方向上是无限的，那么这类问题就是无意义的。相反，“时间在未来的方向上是无限的”这个观点则得到了普遍接受，甚至那些以先知预言为基础的宗教都愿意接受这个想法。千年盛世到来后，善者永生，或者在一个新的世界中轮回。即使某些极端虚无主义的教派相信，时间有一个真实的终点，在终点处万物归复于虚无，与时间的起点之前完全相同，只有时间本身是善的——即使这种信仰存在，也是非常罕见的。
此外，每个人都知道，连续开关电灯泡很容易把灯泡烧坏。汤姆森灯的灯泡一定会烧坏。
针对汤姆森灯的一种反对观点是，电灯泡不可能无限且迅速地被打开、熄灭。在操作过程中的一个过去的确定时刻，当电流接通时灯丝没有足够的时间完全被加热，而当电流断开时灯丝没有足够的时间冷却。在最后阶段，灯丝可能始终处于半明半暗的状态。
多项式是一个表达式，由一个变量的各次幂组成，例如n3+8n2–17n+3。一个多项式表示了一个函数。粗略地说，一个多项式函数的相对增长速度取决于它的最高次幂。函数n3+8n2–17n+3的增长速度远远超过任何最高次幂为2的函数。同理，它将被一个最高次幂为4（或更高）的函数超过。
真正的问题在于开关。汤姆森灯的开关按钮在每一次打开或关闭时，显然要经过一段距离。因此，按钮必须在有限的时间内经过无限的距离。一个物理上的限制足以提出反驳：在这1分钟接近结束时，按钮的运动速度一定会超过光速，而这是不可能的。
“f（n）”读作“n的函数”。
我们所知的、距我们最远的星系在以接近光速的速度远离地球。一个高速远离的物体发出的光会产生“红移”：光的波长增大而能量减小。能量较高的可见光在红移以后变成能量较低的微波。当一个发光体以接近光速的速度远离时，它发出的光能量将下降到几乎完全消失的程度。因此，我们接收到的非常遥远的星系的光能量非常微弱，以至于不可见。
更令人费脑筋的是克雷格（W. L. Craig）提出的一个悖论，这个悖论是特里斯特拉姆·香迪悖论的颠倒版。假定时间在过去的方向上是无穷的，而香迪已经写了无穷长的时间。克雷格指出，在这种情况下，在年与日之间仍然存在康托尔式的一一对应。香迪应当刚刚完成他的传记的最后一页。但这是荒唐的。既然他要花费一整年的时间记录昨天的事件，他怎么可能已经把昨天的事件记录完了呢？
结论：如果过去的时间是无限的，而香迪始终在写，那么他将留下无穷多的未完成的写作任务。他最近完成的部分记录的是无穷远的过去的事件。
“无限”是一个用来表示这个巨大的、我们无法完全领会的世界的符号，它是悖论中极常见的主题。悖论中经常包含着无限对自鸣得意的日常世界的冲击和威胁。
函数不仅限于可以在计算器上算出。任何一个从某个数产生新数的清楚而确定的过程都是“函数”。我们可以定义一个函数：67乘以n的积加上381（对于任意数，n），这就是一个有意义的函数。函数通常用方程的形式表示，例如：
托马斯·马尔萨斯（Thomas Malthus）认识到，世界人口以几何级数增长，而粮食产量仅以算术级数增长，在此基础上形成了他的著名理论。马尔萨斯有理由相信，每年新开垦的农田面积是固定的。因而，粮食供给的增长大致是这样的：100，102，104，106……另一方面，人口的增长率（主要取决于每年的新生婴儿数）随人口规模本身而增长。世界人口趋向于每隔若干年增加一倍，增长情况大致是：1，2，4，8，16，32……和达希尔的奖赏一样，这是一个几何级数。马尔萨斯警告说，人口增长必定超过食物供给，导致全球性的饥荒。
布莱士·帕斯卡（Biaise Pascal）写道：“每当设想我的生命被封闭在永恒的时间中的一个狭小的范围内，我能看到且感知的一小部分空间淹没于一个无限广袤的空间中，我对这个无限的空间一无所知，这个无限空间也不能了解我。一想到这些，我就对自己身处于此地而非别处感到恐惧和震惊。”另一方面，一个有限的宇宙也许令人更加难以接受。人类难以设想空间怎么会有尽头。
第三台不可能的机器是皮亚诺机。这台机器像是一支自动伸缩笛，笛身上标有刻度，像尺子一样。一端标有数字“0”，另一端标有数字“1”。一个游标从“1”端滑向“0”端，历时1分钟，匀速滑动。当游标经过的点的刻度为整数的倒数时，一只机械嘴会读出这个整数。随着游标的滑动，声调越来越高，同时，读数字的速度越来越快。
芝诺否认无穷数列和无穷量的真实性。他认为，如果你可以表明某个东西涉及无穷，你就可以证明这个东西是不存在的。在现代人看来，芝诺的某些论证缺乏说服力。芝诺的表现就像是一个永远拒绝无穷级数的顽固、古怪的数学家。阿基里斯必须跑的距离构成了一个无穷级数，加起来等于111.111……厘米（即111又1/9厘米）[2]，这是一个有限数。所谓的“无限”只是芝诺分析的结果，并非物理意义上的无限。
但是，由于来自更远的壳层的光受到红移效应的削弱，以上图景全变了。星系距我们越遥远，它远离的速度越大，光的能量越小。因此，这个无穷级数会更像这样：x+0.9x+0.81x+0.729x+0.6561x+…，其中每一项按固定的比例递减。这样的无穷级数是收敛的。有无穷多的星体照耀地球的天空，而光的总量可以依然是有限值。
“坚固”的物质是由原子构成的，而原子内部大部分是未被填充的空间。非空的部分是质子、中子和电子，而这些粒子内部大部分也是未被填充的。如果空间是无限可分的，就会有一个无穷的序列：粒子、亚粒子、亚亚粒子，而它们内部大部分是空的。也就是说，任何东西内部的99.999 999%以上的空间都是虚空。果真如此，我们就应当无法看见任何东西，如同格特鲁德·斯坦（Gertrude Stein）提到“奥克兰”一样——那儿什么也没有。
罗素的论证大致是这样的：假定香迪生于1700年1月1日，而写作开始于1720年1月1日。在第一年（1720）写第一天（1700年1月1日）的事，写作进程如下：
发出一个声音需要消耗多少能量取决于频率（音调）和振幅（音量）。为了避免能量需求达到无穷大，随着频率的增加，振幅必须减小。在这1分钟的最后一瞬，机械嘴的音量将下降到0。你无法听到最后的哨音——即使你的耳朵有能力捕捉音调无限高的声音。
