“我明白了，某人显然对我说的话只字未听。”
彭菲尔德和其他大脑研究者的工作确实影响了关于这个问题的思考，然而，对于世界本身的真实性的怀疑绝不是现代人的独特发明。“缸中之脑”不过是一个古老谜题的强化版，这个谜题是：“你怎么知道这一切不是一场梦？”在关于此问题的所有表述中，最著名的一个是中国“庄周梦蝶”的故事，它可追溯至公元前4世纪。庄子梦见自己是一只蝴蝶，醒来以后开始怀疑：莫非自己本来是一只蝴蝶，只是梦见自己是一个人？
认识事物的第二种基本途径是归纳。我们经常用归纳法做概括，所以这个过程我们很熟悉。我们见到一只黑乌鸦；而后又见到一些乌鸦，它们都是黑色的；我们从未见过不是黑色的乌鸦，从而得出结论：“所有乌鸦都是黑色的”。这就是归纳推理。
在谬误型的悖论中，悖论是一个假象。一旦你发现了其中的错误，一切就都恢复正常了。也许所有悖论在本质上都是这样。即使错误不像上面的例子中的那样明显，但错误仍是存在的，把错误揪出来，悖论就消失了。
·有人说，如果你在怀疑自己是不是在做梦，这种怀疑本身就证明你是清醒的。因为在清醒时，你保留着对梦境的知觉；但是在梦中，你已忘记二者的区别（你不会梦到自己处于清醒状态）。如果这种说法是正确的，那么我们在梦中就永远不会意识到自己正在做梦，但是事实上，许多人都曾在梦中意识到自己在做梦，这相当常见。
出于这个原因，归纳推理的合理性似乎总是弱于演绎推理。例如，休谟就曾怀疑归纳推理。正如休谟所批评的，我们用归纳推理本身来论证归纳推理的有效性。（“在历史上，归纳推理经受住了考验，因此，在未来，它应当也是有效的。”）哲学家莫里斯·科恩（Morris Cohen）说过一句俏皮话：逻辑学著作包括两类，第一类是演绎，其功能是解释谬误；第二类是归纳，其功能是生成谬误。（按照科恩的标准，本书是一个例外！）
首先，我们最好解释一下悖论为何物。“悖论”这个词有很多含义，但最基本的含义是“矛盾”。悖论从一系列合理的前提出发，从这些前提推演出一个结论来颠覆其前提。悖论是对“证明”的模仿和嘲弄。
在EEG探针的刺激下，J.V.不仅回忆起这段遭遇，而且重新经历了这段遭遇。细节如此丰富，恐惧感如此真切，最初的经历原样重现。彭菲尔德的探针让女孩的大脑就像放电影一样再现往事。利用标着字母或数字的小纸片，彭菲尔德找到了储存这段回忆的大脑皮层的相应位置。此外，刺激该位置附近的点会引发不同的感觉。当探针触碰某个点时，J.V.会回忆起某人责骂她做错了事；当探针触碰另外一些点时，却只能引发她脑中彩色光点闪烁的幻觉。
笛卡儿试图对真实世界中的事实做同样的处理。首先，他必须找到一些被视为绝对无误的事实，由这些事实构成事实集合，这些事实将充当笛卡儿自然哲学的基本公理；其次，设立有效推理的规则；最后，从作为出发点的无可辩驳的事实集合出发，应用这些推理规则推导出新的事实。
归纳是一个倒推的过程，类似于在玩走迷宫的游戏时从终点开始倒退以寻找出路。归纳不是从一般性原则（“所有乌鸦都是黑色的”）出发并将之应用于具体场合（“这只鸟是乌鸦，因此，这只鸟是黑色的”）；相反，归纳是从具体场合出发得出一般性原则。归纳立足于这样一种观念（或者说希望）：这个世界在本质上不是欺骗性的。每一只经过检验的乌鸦都是黑色的，从这一事实出发我们得出结论——所有乌鸦都是黑色的。我们假定，那些未经观察的乌鸦与观察过的乌鸦相似，这个世界表现出的规律性是真实的规律性。
我想表达的要点是，我们无须以任何方式证明自己是清醒的；用不着证明，我们就是知道。庄子等人强调的是，所谓的“真实”生活只不过是一场不可靠的梦。
另一个例子：几乎每个人都曾遭受过恐怖电影、恐怖小说和噩梦的惊吓。尽管这不过是一部电影（或一部小说、一场梦），但当时的恐惧感却是真实的。在彭菲尔德的手术中，当J.V.“看见”那个拿着一袋子蛇的男人时，尽管这个男人仅仅是一个幻象（在手术台上产生的基于神经学的记忆再现），可是J.V.的恐惧依然是真实的。类似地，当一个人处在幸福、悲伤、爱、痛或嫉妒的情绪之中时，只要相应的心理状态存在，此人就不能怀疑这些体验的真实性。
在面对一个未知对象时，画出其界限通常比描述它更容易。比如，托马斯·杰斐逊不知道路易斯安那地区具体有什么，只知道它的边界。在描述“理解一段信息”是什么含义时，使用同样的方法也更方便。
科学是一种记忆方法。我们无须记住每一只苹果从树上落下来的情形，我们只需记住引力。科学是外部世界的一幅地图。像所有地图一样，它也忽略了细节。在交通图上，小镇、树木、房屋、岩石等被删掉，为公路、海岸线、国界以及其他对于地图使用者更有价值的信息留出位置。科学家也需要做出类似的判断。
3. 两边取平方 x2=x2
6. 消掉相同的因式（x–x） x=（x+x）
5. 因式分解 x（x–x）=（x+x）（x–x）
大脑的真实存在与外部世界的真实存在同样可疑。我们之所以把这个主题称为“缸中之脑”，只是为了方便讨论，其实这个说法很容易把我们引向拙劣的科学幻想。当我们说“大脑”时，我们的真实指涉其实是“心灵”。难道我们的意识栖息在一颗大脑中而非整个身体里吗？对此我们已不再确信无疑。如果我们把以上设想推向极致，那么整个世界——包括彭菲尔德、J.V.和这个“缸中之脑”之谜——统统是你的心灵中的幻觉。
4. 两边同时减去x2 x2–x2=x2–x2
爱因斯坦（Albert Einstein）和利奥波德·因费尔德（Leopold Infeld）提出的一个著名类比可以说明这种不确定性。他们于1938年写道：
还有一类更强大的悖论，这类悖论性最强的悖论是难以被解决的。谬误型悖论和挑战常识型悖论都无法与之相比。
笛卡儿有些有趣的想法。他注意到想象力是有限度的，那个邪恶天才的想象力恐怕也是有限度的。梦境或超现实主义绘画中的虚拟对象都是以真实对象为原型的。笛卡儿写道：“画家在创作时，即使画的是形体最为怪异的海妖和林妖，他也无法在某一方面为这些怪物发明新的特征；他所能做的不过是把各种动物的肢体拼凑在一起。”（所有神秘怪兽都不过是由这种方法拼凑出来的大杂烩，例如半人马、人身牛头怪、独角兽、狮身鹫首怪、狮头羊身蛇尾怪、狮身人面怪、狮身人首蝎尾怪——有例外吗？从这些相似性看，人类的想象力没什么了不起，这些怪兽还不如袋鼠和海星新奇。）
科学严格地信奉感观证据。大多数人对鬼魂、尼斯湖怪兽和飞碟等事物持怀疑态度，不是因为这些人头脑僵化愚蠢，仅仅是因为没有人能提供关于以上种种的不可辩驳的感观证据。“缸中之脑”问题（明显合理地）反转了这种怀疑论。若以感觉为基础，你怎样才能确定自己不是一颗“缸中之脑”？你不能！“你不是一颗缸中之脑”这一观念永远不可能以实证方式证明。用哲学术语来说，这是一个“超验”问题。
然而，想确切地说明二者的区别是困难的。如果清醒的生活是绝对无疑地、确定无误地不同于梦境，那么我们应当可以通过一个绝对可靠的检验方法区分两者。例如：
对认识过程本身的研究不同于研究蝴蝶、星云等具体研究，证实理论在很大程度上以逻辑谜题和悖论为研究对象。对于外行来说，这种说法很可能显得很奇怪，似乎意味着证实理论是对一些奇谈怪想的研究。悖论就其本质而言，是对我们的观念结构中的漏洞的披露。罗素（Bertrand Russell）说过：“检验一种逻辑理论可以看其处理谜题的能力。考察逻辑理论的时候，在脑子里积累尽可能多的谜题是一个聪明的办法，因为在逻辑领域中谜题的地位非常重要，其重要性相当于实验之于物理学。”
[4] 原名为Tlon, Uqbar, Orbis Tertius，前两个词是虚构的地名，音译为“特兰”和“乌克巴”，后两个词是拉丁语。这是一个精妙的短篇故事，介绍了特兰——一个虚构世界——中的思想状态。特兰人视唯物主义为荒诞的异端邪说，而一个天才的邪教领袖发明了“九枚铜币”悖论论证物质的存在，下面的引文介绍这个悖论以及正统的特兰理论家对悖论的反驳。——译者注
在设计得足够巧妙的悖论中，矛盾生成于某种本身不明显的东西。从一个严格有效的推理中可否导出矛盾？或者换句话说，我们是否可以保证，从一个严格有效的推理中不可能导出矛盾？
遗憾的是，几乎任何描述这个真实世界的命题在某种程度上都是可疑的。笛卡儿发现，他的自然哲学大厦的地基在他的脚下消失了：“我在昨天的沉思中展示的可疑性是如此有力，以至于我既不能把它们从我的心灵中剔除，也找不到解决它们的出路。我好像意外地跌进了一个深深的旋涡，在旋涡中晕头转向，踩不着底，也够不着顶。”
[5] 疯马酋长（Chief Crazy Horse）是印第安人部落中的著名勇士、部落领袖和英雄，美国儿童喜爱的电动转马也以疯马命名。——译者注
让我们对这一奇想做些详细的探讨，探查一下问题的全貌。在过去某个不确定的时刻，当你睡觉的时候，大脑被取走，脱离了身体。每一根神经都在高明的外科医生的处置下连上了微电极。这些数以百万计的微电极都接在同一台机器上，而这台机器能发出与原来的神经信号一模一样的微弱的电信号。
[3] 此处不甚准确，柏拉图著作中的某些言论确实出自苏格拉底本人。——译者注
最好的悖论能展示出这样一些问题：什么样的矛盾可能发生？什么样的不可思议之事是有可能发生的？阿根廷作家豪尔赫·路易斯·博尔赫斯（Jorge Luis Borges，1899~1986）在他的短篇小说中揭示了大量此类问题，他的著作对于所有悖论爱好者都是有吸引力的。在《特兰，乌克巴，奥尔比斯·特尔提乌斯》[4]中，博格斯描述了一部百科全书，此书是一群学者精心炮制的恶作剧，却被当成来自另一个世界的著作。这些学者甚至设计了那个虚构世界中的悖论，但是在其他世界的人看来，特兰人的悖论不过是平淡无奇的事情。特兰人最伟大的悖论是“九枚铜币”：
在最近几十年里，我们在悖论领域取得了丰硕的成果。本书搜集了一些新近发现的悖论并加以讨论，这些悖论意义重大而且发人深省，值得每一个受过良好教育的读者深入探究。
即使我们承认，一个人的存在是有“原因”的，我们也无法推出这个“原因”就是“上帝”。“上帝”的含义远比一个人存在的原因丰富。也许我们存在的原因是达尔文提出的进化，但大多数人所理解的“上帝”并不是这个意思。此外，即使我们承认上帝存在，但我们怎么知道上帝不会支持那个邪恶天才呢？
我们的自然反应是，这两个命题都是假的。但是，假并不等于悖论。至少我们可以想象有一个世界，在那个世界里，这两个命题都是真的。如果一组命题在某个可能世界中为真，即使这个可能世界不是我们所处的世界，逻辑学家也会称这组命题为可满足的。
8. 由x=1，得1=2
在第三类悖论中，我们不清楚哪个前提应当（或可以）抛弃。这些悖论仍然悬而未决。本书将要讨论的悖论至少属于第二类，大多数属于第三类。需要提醒读者的是，这些悖论目前（指本书成书前后）基本上没有公认的解决方案。
以及
我们来分析“这句话是假的”这个版本。这个语句是真的还是假的？如果“这句话是假的”为真，那么它陈述的内容就是真的，但是它说的就是这个语句是假的，于是得出这个语句就是假的！
1.所有的牛都是紫色的。
2.西班牙国王是一头牛。
下面的例子则不同：
笛卡儿很可能会断言，那个操控“缸中之脑”的幕后黑手也不可能凭空构造出什么东西。如果他为“缸中之脑”设计了“狗”的幻象，那么我们有理由认为，在实验室之外的“真实”的外部世界中，即使不存在“狗”，也会存在眼睛、皮毛之类的东西。笛卡儿还谈到了颜色：即使在最奇幻的绘画中，画中的颜色都是完全真实的。因此，他认为有理由相信，即使他处于邪恶天才的蒙蔽之下，“红色”这种颜色也是真实存在的。（你同意吗？是否可以想象这种可能性：真实世界实际上是黑白的，而颜色不过是一个极富创造性的“缸中之脑”研究部门发明出来的神经学幻象。）
在特兰人的思想中，“九枚铜币”是真正的悖论，无法彻底消解。一个有趣的设想是，也许在另一个世界的居民看来，我们的悖论也是平庸陈腐的事实。那么，悖论究竟存在于“我们的头脑中”，还是建构于统一的逻辑结构中呢？
用这个令人眩晕的旋涡描述本体论非常恰当。本体论是关于“什么是最真实的实在”的研究。在建构一种本体论时，首先需要意识到，日常生活中被我们接受的关于外部世界的事实是可疑的。对于每一个毫无疑问的观念，你几乎总是可以找到一种它可能是错误的情形。巴黎是法国的首都吗？很可能是，然而，有一片疑云永远无法消除。我们完全可以设想出这样一种可能性：法国政府是一个专制的阴谋政府，政府出于某种原因不想让大家知道法国的实际首都在哪里。政府官员改写了所有历史和地理学方面的著作，强令每个教师向每一个新生代的孩子灌输“巴黎是法国的首都”的假象。当然你可以说，去年夏天你曾经去过巴黎，你亲眼见到了法国政府大楼的建筑群。然而，你无法根除这种可能性：那其实不是巴黎，而是政府刻意修建的主题公园，其目的是让公民形成旅行自由的错觉。
质疑逻辑和数学的确定性的第二个问题更具有实用主义特征：逻辑和数学的确定性无助于鉴定物理世界中的观念。即使算术是可靠的，我们也算不出哪儿是法国的首都。我们的问题是，除了逻辑和数学，是否还存在我们可以确定的事实？
科学和常识都以归纳为基础。福尔摩斯以演绎推理著称，但在他的推理中归纳的成分超过演绎。归纳推理的起点是“旁证”，或者用休谟的话说，是“实际的事情”。归纳从观察资料出发，在这些资料尚未得到更加深入的理解之前进行外推。我们并不知道，为什么我们见过的乌鸦都是黑色的。即使我们已经见过100 000只乌鸦，而且它们统统是黑色的，但第100 001只乌鸦依然有可能是白色的。“白乌鸦”不同于“有四条边的三角形”——后者因包含内在的矛盾而荒谬，前者却没有。由归纳得到的结论不具备逻辑必然性。
有些人可能天真地认为，大脑内部保存着外部世界中的事物的成比例模型，显然，这些模型必须放弃大量的细节。事实上，宇宙比人的头脑大太多，大脑没有足够的容量盛放关于宇宙的所有知识。大脑无法保存关于世界的所有事物的图像。
与可满足性问题等价的这一类问题被称为“NP完全问题”（如果读者现在不理解这个名称的含义，先别着急）。NP完全问题的一个惊人之处在于，这些问题表面看来各不相关。理查德·卡普的论文列出了21个NP完全问题，其中包括“旅行推销员”问题（一个古老的数学谜题）、“哈密顿回路”问题（此问题起源于一种流行于19世纪的智力玩具，该玩具可被视为魔方的前身）。若干年来，已知属于NP完全问题家族的问题列表已经膨胀得相当惊人了。
“嗯……是这样，老师。”
归纳提供了一些基本事实，由此出发才能对这个世界进行推理。笛卡儿希望他的哲学以确定性的公理为起点，但是在科学界，确定性的公理的地位被以经验检验为基础的概括所取代。归纳与演绎的结合构成了科学方法的基础。
但是，以上分析有两个问题。第一个问题是，你可以持极端怀疑主义立场，把逻辑和数学都斥为幻想。这样，即使你看不出“2+2=4”可能是错的，也不意味着它必定就是对的。
这个悖论根源于对世界运转模式的错误假设，而非逻辑方面的错误假设。孪生子悖论有一个隐含前提：时间是统一的。而悖论表明这个前提是不可靠的，所以常识是错误的。比如，你可能认为，世界上没有长皮毛的是卵生哺乳动物，但是鸭嘴兽是一个反例——可以说这是一个活生生的悖论。“长皮毛的哺乳动物不产卵”这个常识当然不具备逻辑必然性，“时间与观察者的运动无关”亦然。
在孪生子悖论问世之初，它与常识的冲突是如此之剧烈，以至于很多人（包括法国哲学家亨利·柏格森，Henri Bergson）引用这个悖论来证明相对论是错误的。在日常生活中，没有任何东西令我们相信时间是相对的。从摇篮到坟墓，一对孪生兄弟始终年龄相同。
关键在于两边除以（x–x）那一步，这个除数是0。第5行x（x–x）=（x+x）（x–x）是正确的，其含义是1乘以0等于2乘以0，但是由此不能推出1等于2，因为任何一个数乘以0等于任何一个另外的数乘以0。
发现矛盾并不意味着理解的全部，“理解”很可能包含更多的内容。然而，发现矛盾一定是一个必要前提。悖论的发明者就是通过揭示一组预设中的内在矛盾来提醒我们，我们并不是像我们以为的那样来理解这些预设。
我们绞尽脑汁，希望理解客观实在，这种情况很像如下场景：一个人面对一只外壳封闭的表，他想了解表的内部运转情况。他看见表盘和移动的指针，甚至听到嘀嗒的声音，但是没法打开外壳去看。如果这个人够聪明，他有可能构想出一种表运行的机制，这种机制可以解释他观察到的所有现象，然而，他永远不能信心十足地断定，除了他构想的机制以外其他方法都不能解释他观察到的现象。他永远无法把自己的构想与实际情况相比较，他甚至无法设想这种比较具有什么意义。
7. 即 x=2x
前两句是前提，陈述被设定为事实。演绎过程是从前两句推出第三句。用休谟的话说，有效的演绎推理属于推理的真理。
所有银行家都是富有的，
洛克菲勒是银行家，
所以，洛克菲勒是富有的。
当逻辑学家说所有的NP完全问题本质上是一个问题时，他们的意思是说，如果找到了可解决任一NP完全问题的有效通解，则对此通解进行某种方式的变换就可以解决所有其他问题。面对整个NP完全问题家族，一旦解决了其中一个，所有的问题都会迎刃而解。
现代的哲学家很难同意以上推论方式。“一切事物都有其原因”看起来是对的，但我们如何保证它是绝对可靠的真理？此外，“因”和“果”也有可能是邪恶天才虚构出来并投射在我们心灵中的。
由此我们总结出悖论的第二种类型：挑战常识型悖论。在这类悖论中，矛盾令人惊奇但可以解决，而且解决方法是明显的：必须放弃原来的假设。无论最初的假设在认知体系中是多么根深蒂固，一旦放弃它，矛盾就会迎刃而解。
[6] 此处列举的几个人物均为著名的畅销书作家，以善于设计奇诡、精妙而和谐的智力趣题著称。他们的许多佳作已有汉译本。——译者注
我们有两种途径认识（或者说自以为我们可认识）事物，这两种途径均与休谟所做的区分密切相关。第一种途径是演绎，这种逻辑方法从给定的事实出发推出结论。演绎推理的一个例子是：
·下面，我提出一种鉴别方法，其核心可称为“明晰的新事物”。你可以在床边放一本打油诗集，不要读它，在那儿摆着就行。一旦遇到需要判断自己是否在梦中的情况，你就可以走进卧室，翻开诗集，随便翻到一页（当然，这可能是梦中卧室里的梦中的诗集）。读一首打油诗，要确保这首诗你以前从未读过或听过。你不大可能在短短的一瞬间就做出一首像样的打油诗——清醒时你都做不到，何况在梦中？我们很容易判断出我们正在读的东西算不算打油诗。打油诗也有严格的韵律和韵脚，而且内容是滑稽的（当然，内容也有可能不滑稽，但是它一定体现了某种固有模式）。如果你正在读的那首诗符合以上条件，就说明这首打油诗一定是外部世界的一部分，而非梦中的虚构。[1]
依据矛盾的生成方式和生成点（如果能找到生成点的话），可以对悖论进行粗略的分类。形态最弱的悖论即谬误。这种悖论是通过一个微妙而隐蔽的推理错误生成一个矛盾。我们见识过很多诡计可以用代数方法“证明”2等于1（或是类似的荒唐结论），在多数情况下这些诡计的核心在于以0为分母，用这种方法迷惑我们。如：
蓝天，烈日，似曾相识的感觉被一丝恐惧笼罩着。一件可怕的事情马上就要发生了。这是一个明媚的夏日，原野上，草长得很高，J.V.跟在她的兄弟们后面，懒洋洋地漫步。地面上出现了一片阴影，草丛中有些东西在沙沙作响。J.V.不由自主地转过身，看见了一个陌生的男人。这个人拿着一个袋子，她看不清袋子里是什么，只见里面的东西在不停地扭动。这个陌生的男人问道：“钻进这个袋子里陪我的蛇，好吗？”
需要注意的是，这里的矛盾不是由某一个单独的命题造成的。我们可以在三个命题中去掉任何一个，剩下的命题则是可能同时实现的。悖论是由三个命题相互作用产生的。
如果我们对基本的感觉神经与大脑交换数据的机制有更深入的了解（这也许会在大约一个世纪内实现），就有可能用人工手段模拟各种真实经验。这种可能性把我们的全部经验都置于可疑的境地。即使现在我们所说的神经学仍处于萌芽期，我们的感觉依然是不可靠的。完全存在这样的可能性：现在的真实时间是25世纪，我们其实是实验室里的“缸中之脑”，操控我们的力量让我们以为这是根本没发生这些事的20世纪。
今天，孪生子悖论已被接受为事实，其结论已被大量实验证实——当然，实验品不是孪生兄弟，而是极其精确的时钟。1972年，物理学家约瑟夫·黑费勒（Joseph Hafele）设计了一个实验，把铯原子钟装进喷气式客机里进行环球飞行。这个实验证明，当飞机上的乘客回家时，他们要比其他同龄人年轻一个微乎其微但可以测量的瞬间。如果一个宇航员用接近光速的速度旅行，他返回时，要比待在家里的原来与他同龄的人年轻——没有哪个物理学家会怀疑这个结论。
2. 很明显 x=x
当笛卡儿谈论颜色的时候，他指的是我们对颜色的主观感觉，而非色素、光波波长以及诸如此类的在我们看来与原始感觉相关的东西。实际上，笛卡儿的结论是，一个人可以确定的唯有主观感觉——尤其是他本人的主观感觉。（理由是，谁敢肯定别人的想法和感觉与他本人的相同？）
悖论的深刻性和普遍性超出了前人的想象。悖论不是一个怪胎，而是科学哲学的一根支柱。悖论问题既引人入胜，又令人魂牵梦绕。眼见逻辑推理像纸壳搭的房子一样崩塌，会令人有一种颠覆的快感。从某种意义上说，所有证实理论和认识论领域内的著名悖论都是智力游戏的产物。在其他领域，非专业的爱好者几乎不可能获得品味和把玩其中真义的机会。我们如何知道归纳和演绎、模糊性和确定性之间的交互作用？这是后文将介绍的悖论的主题。
在逻辑学中，发现悖论的问题在理论上被称为“可满足性”（SatisfiabiLity，此问题及相关的逻辑问题经常用大写字母表示）。若给定一组前提，可满足性要讨论的是：“这些命题是否必然导致矛盾？”另一种表述是：“是否存在一个可能世界，使得所有这些前提都为真？”
以上分析是对“任何问题都可以用科学方法予以解决”这一观念的严峻挑战。我们讨论的不是“霸王龙的颜色”之类的小问题。如果我们连外部世界是否存在都无法确定，那么就说明我们的知识有严重的局限。我们对事物的惯常看法可能错得离谱。
另一个著名的例子是“孪生子悖论”，这个例子的悖论性更为尖锐。相对论认为，时间流逝的速度因观察者的运动而不同。设想有一对孪生兄弟，其中一个登上火箭前往天狼星，而后返回地球。当去天狼星的那个人回来后，根据相对论，此人将发现他比自己的孪生兄弟年轻许多——不论是根据日历表的显示、他们皱纹的数量和头发灰白的程度、对时间流逝的主观感受，或是任何一种我们所知的定义时间的物理手段，结论都是他更加年轻。
1. 令 x=1
如果所有悖论都是这样，证实理论和认识论就简单而无趣多了。我们并不关心简单的谬误。事实上，许多悖论是成立的，并且会引起混乱。
[2] 这是一首典型的打油诗。作者把它放在这儿，意思是说：如果你想确证自己是清醒的，这首诗就足够了。这首诗你写不出来，所以它一定是外部世界的一部分，而非梦境的一部分。——译者注
以主观感受为基础论证外部世界，这个地基是很不牢靠的。尽管如此，笛卡儿依然认为，他可以从自我心灵的实在性出发推导出许多意义重大的结论。他从“我存在”推出“上帝存在”。笛卡儿的推理是，有果必有因，所以必然存在一个创造者。从“上帝存在”，笛卡儿得出“外部世界存在”，理由是：上帝是一个完美的存在，他不可能欺骗我们，也不会任由一个邪恶天才用虚幻的外部世界蒙蔽我们。
走迷宫、解密码以及设计填字游戏，这些问题都属于NP完全问题。许多经典的逻辑谜题和智力题都可以概括为NP完全问题。近年来的谜题作家马丁·加德纳（Martin Gardner）和雷蒙德·斯穆里安（Raymond Smullyan），以及更早的萨姆·劳埃德（Sam Lloyd）、刘易斯·卡罗尔（Lewis Carroll）、亨利·欧内斯特·杜登尼（Henry Ernest Dudeney）[6]，还有许多知名或无名的作者，他们的趣味逻辑问题通常都属于此类。这些形态各异的问题在本质上是同一的，这是一个非常令人意外的结论。即使我们把库克和卡普的这个发现与“所有物体均由原子构成”的发现相提并论，也不算夸张得太离谱。世界上有许多智力难题，其意义深远重大，可看起来又比较琐碎，其实这些问题包含相同的内核。NP完全问题是一个宇宙之谜，当我们以有限的心灵面对复杂度成指数增长的辽阔宇宙时，世界的不可思议便通过NP完全问题得到了充分的展示。
诸如此类的大胆设想并不能掩盖一个事实：某些事物比其他事物更加可疑。对于大多数人来说，尼斯湖怪兽比霸王龙的可疑性大，而这二者与上周日你在动物园见到的大象相比都更加可疑。那么，什么东西才是最可靠的呢？
笛卡儿试图从确定性的前提出发演绎出新的事实，从而保证新的事实拥有与前提同等的确定性。幸运的是，演绎法也可以应用于不确定的前提。强硬的怀疑论者可以主张，上面的例子中作为前提的两个句子都是不确定的——在某地可能存在着不死的人，苏格拉底也可能是另一个星球上的生命。于是，不确定性由前提传递给结论。然而，演绎本身是同逻辑命题一样确定无疑的。无论A、B、C是什么，从“所有A是B”和“C是A”出发，总可以推出“C是B”。我们同样可以推出：
然而，这场所谓的“梦”也许不同于我们通常所说的梦。关于这一主题的最著名的研讨见于笛卡儿的《沉思录》（Meditations）。笛卡儿怀疑，包括他的身体在内的这个所谓的“外部世界”也许是一个幻象，有一个“邪恶的天才”在刻意欺骗他，特意制造了这个幻象。“我会设想，……某个法力无边的恶魔在费尽心机算计我。我会以为，天空、大气、土地、色彩、形状、声音以及所有其他的外物都不过是梦中的错觉，它们都是那个恶魔为了愚弄我而制造出来的。我会以为自己并没有手、眼、血、肉以及知觉，我不过是误以为自己拥有了这些东西。”
·一个古老的鉴别方法：如果想知道自己是不是在做梦，只需掐自己一下。原理很简单，在梦里你不会觉得疼痛——然而，我本人曾经在梦里感觉到疼痛，而且我猜想所有人都有过同样的体验。因此，这个方案被否决了。
所有人都会死，
苏格拉底是人，
所以，苏格拉底也会死。
当然，以上分析不足以证明笛卡儿是错误的，只能说明笛卡儿背离了他作为出发点的怀疑精神。苏格兰哲学家兼历史学家大卫·休谟（David Hume，1711~1776）是笛卡儿最激烈的反对者之一。休谟声望极高，在伦敦和巴黎很有影响，但因为他是一个直言不讳的无神论者，所以他无法在大学任教。有一阵子他靠给愚蠢的安南达尔三世侯爵（the Third Marquess Annandale）当家庭教师艰难度日。休谟质疑笛卡儿推理的每一个环节，甚至怀疑一个人自我心灵的存在。他说，他在反省时总是“无意中遇到”观念和感觉，他也从来没有发现一个与这些内容有别的“自我”。
我们甚至可以设想比“缸中之脑”悖论中的神经学幻象更加彻底的幻象。实际上，眼睛传递给大脑的并非图像，耳朵传递给大脑的也并非声音。感官和大脑交流的无非是神经细胞中的电–化学信号。神经系统中的各个细胞只能“见到”邻近细胞的脉冲信号，但它们见不到引发这些信号的外界刺激。
唯心主义认为唯有心灵是真实而可知的。笛卡儿不是一个彻底的唯心主义者，但是他开启了唯心主义潮流。当你吃了一口红辣椒，嘴里火辣辣的，唯心主义者会说，痛和热的感觉是无可置疑的真实存在。红辣椒本身倒可能是一个幻象：也许是一块杏仁糖沾了塔巴斯科辣酱汁，或者是消化不良导致的噩梦的一部分。痛和味道是纯粹主观的，你感到痛和味道这一事实是不容置疑的。主观感觉高于引发这些感觉的物理实体。
对于任何一个具有怀疑精神的人来说，“缸中之脑”的悖论既引人入胜，又令人烦恼。以上论证提出了一种令人震惊的可能性：你所知的一切可能都是假的！
我们的全部经验是许多神经脉冲信号汇集起来的。一粒形状不规则的珍珠的光泽、拨电话号码时的声音、杏树的芬芳，所有这一切都是由神经脉冲信号构成的。我们构想了这个世界。这个世界完全可以解释为我们自出生以来（包括出生前的几个月）所接收到的神经脉冲信号的独特汇集。我们习惯把神经系统经验的表象称为“真实的外部世界”，但是这并非唯一可能的解释。我们不得不承认，一个邪恶天才或一个“缸中之脑”实验可以同样圆满地解释这些神经系统的经验。经验本身是永远没有立场的。
没有哪个可能世界可以同时满足这三个命题（假定紫和绿之类的颜色相互排斥）。这里出现了一个悖论，因此，我们称此命题集合为不可满足的。
J.V.遇到那个陌生男人的经历实际上发生在7年前的加拿大——我们称之为“真实世界”。J.V.报告说，她看见了当年的自己，那时她还是一个7岁的小女孩。当时她吓坏了，但是并没有受外伤，她哭着跑回家找妈妈。此后，恐怖的瞬间一次次地纠缠她，那个拿着一袋蛇的男人一次次闯入她的梦境，导致她生活在噩梦之中。渐渐地，她心灵上的创伤开始伴随癫痫性抽搐。这段掠过脑海的往事就像勾起回忆的提示，可以触发她的整个回忆，而后是癫痫发作。
既然如此，这个语句必须为假。然而，如果“这句话是假的”为假，它就必须是真的。于是，我们建立了两条归谬推理：如果它是真的，将推出它是假的，所以它不可能是真的；另一方面，如果它是假的，将推出它是真的，所以它也不可能是假的。这个悖论是本质性的，难以消除。
笛卡儿设想的解决知识问题的方案与欧几里得在两千年以前处理几何学的方法极其相似。欧几里得几何学的整个体系是从一个公理集合推导出来的，这个公理集合包括5条公理。在欧几里得的时代，公理是一种明显为真的陈述，其真理性如此显而易见，以至于没有人能想象其为假的可能性（例如，“任意两点决定一条直线”就是一条公理）。传统几何学的所有定理（被证明为真的命题）都可以从欧几里得的5条公理演绎而来。
休谟论证说，只有两种真理为我们所知：一是“推理的真理”，诸如“2+2=4”之类；二是“实际的事情”，例如“哥本哈根动物园鸟族馆中的乌鸦是黑色的”。这种真理二分法被称为“休谟叉”（Hume’s Fork）。休谟坚称，如果一个问题无法归入这两类，则为无法回答的无意义问题，“外部世界是否存在”这个问题即为一例。
在最低限度上，“理解”必须得保证有能力发现内部矛盾（即悖论）。如果你无法辨别一组命题内部是否自相矛盾，那么你就没有真正理解它们，即你还没有想透。想象一下这个场景：一个挑剔的老师在课堂上陈述了一个矛盾，然后试探一个溜号的学生的反应：
“缸中之脑”完美地表述了哲学家所说的“知识问题”。要点不在于“我们可能是‘缸中之脑’”这种微乎其微的可能性，而在于我们有可能受到蒙蔽——以某些我们甚至无法想象的方式。几乎每个人在15岁以前都曾沿着这个思路思考过。对于任何一件事，我们怎样才能确信无疑？
在真正的悖论中，“说谎者悖论”是一个非常简单的例子。这个悖论是公元前4世纪的希腊哲学家欧布里德（Eubulides）发明的，但是它经常被错误地归功于埃庇米尼得斯（Epimenides）——后者只是一个虚构的代言人（就像柏拉图《对话录》中的苏格拉底[3]）。克里特人埃庇米尼得斯曾宣称：“所有克里特人都是说谎者。”为了把这句话转化为一个严格意义上的悖论，需要做一点儿有趣的转换，把“说谎者”定义为只说假话且从不说真话的人。于是，埃庇米尼得斯的话基本上相当于“我正在说谎”或“这句话是假的”。
笛卡儿的推论是，这个骗局的要旨在于，唯有恶魔的心灵和笛卡儿的心灵这二者才是真实存在的。如果存在第三个心灵见证了这出骗局，那么这至少说明笛卡儿关于心灵存在（例如他自己的心灵的存在）的结论是正确的。
为了推出关于这个真实世界的有用结论，我们必须依赖某些前提，而这些前提在怀疑论哲学看来完全是不确定的。科学和常识建立起来的观念系统永远是以不确定性为基础的。没有任何科学结论是完全确定的。
1.所有的牛都是紫色的。
2.西班牙国王是一头牛。
3.西班牙国王是绿色的。
当你翻页时，你会感觉到自己正在触摸一页书，但这只是因为从电极传来的信号与原来的神经信号完全相同。这些信号让你感觉自己真实的手指在摸一页真实的书，实际上，书和手指都是幻象。把书移向你的脸，书看起来变大了；伸直手臂让书远离，书看起来变小了……这种立体感也是通过精密地调节电极上的电压模拟出来的，这些电极能够直接刺激残余的视神经。与此同时，如果你还闻到了意大利面的味道，听到扬琴演奏的乐曲，这些也都是幻象的一部分。你可以掐自己一下，你会得到期望的痛感，但是这不能说明任何问题。事实上，你没有任何办法证明实际情况并不是这样。既然如此，你如何证明外部世界是真实存在的呢？
庄子的故事不足以令人信服。确实，我们在做梦的时候经常没有意识到身在梦中；然而，在醒着的时候人们始终知道自己不在梦中。不是吗？
星期二，当走过一条荒芜的路时，他丢失了九枚铜币。星期四，y在这条路上找到了四枚铜币，因为星期三下雨了，铜币有些生锈。星期五，Z又在这条路上找到了三枚。星期五上午，在他家的走廊里找到了两枚……特兰人的语言无法明确地表达这个悖论，大多数人甚至无法理解其中有何矛盾。最初，常识的捍卫者为了反驳这个悖论，只是简单地否认这个故事发生的可能性。他们强调，这只是一个语言上的错误，根源在于错误地使用了两个动词：“找到”和“丢失”。这是两个未经实际使用检验的新词，但是这个悖论仓促地应用了这两个词，而任何严格的考察都反对应用这两个词。这两个词造成了混乱，因为“找到”和“丢失”预先假定了最初丢失的九枚铜币就是最终找到的九枚铜币。他们援引“所有名词（人，硬币，星期四，星期三，雨）都仅仅符合比喻性的用法”这一原则，驳斥了“因为星期三下雨了，铜币有些生锈”这个离经叛道的陈述，因为这个陈述依赖于一个预先假设：在星期二和星期四之间这四枚铜币是持续存在的，但是这个预设本身恰好就是这个论证想要证明的。他们解释说，数量“等同”不等于东西本身“相同”，并且设计了一个归谬推理加以阐述：假如有九个人，在连续几个晚上他们都感到强烈的疼痛，如果我们说疼痛只有一个、是相同的，那岂不荒谬？……令人感到不可思议的是，以上反驳竟然不是终极判决……
彭菲尔德针对人脑所做的这个经典实验完成于20世纪30年代。受这个实验启发，一个著名的难题产生了，多年以来哲学研究者称之为“缸中之脑”。问题是这样的：你以为自己正坐在那儿读这本书，实际情况可能是，你是一颗已经与身体分离的大脑，在某地的一间实验室里，被浸泡在一缸营养液中。大脑连着电极，一位疯狂的科学家正持续向大脑输送刺激信号，这些信号模拟了“读这本书”的体验。
所有乌鸦都是黑色的，
埃德加·爱伦·坡的《乌鸦》中的那只鸟是乌鸦，
所以，埃德加·爱伦·坡的《乌鸦》中的那只鸟是黑色的。
但是，我们无法排除这种可能性：世界上有许多未被发现的乌鸦是白色的，这些白乌鸦永远躲在我们的脑后，从未进入我们的视野。在归纳推理的每一处应用中，总是有不确定性的幽灵在游荡。既然如此，我们为什么不彻底地抛弃它呢？这是因为它是我们获得关于这个实在世界的一般性事实的唯一方法。如果没有这种方法，我们只能面对数以亿计的个别经验，这些经验就像一盘散沙，各自独立而且没有意义。
20世纪70年代初，数理逻辑领域诞生了一个非同寻常的发现。计算机科学家斯蒂芬·库克（Stephen Cook）和理查德·卡普（Richard Karp）的两篇开创性论文表明，许多类型各异的抽象的逻辑问题其实是同一个问题伪装成了不同形式。这些问题都等价于可满足性问题，即识别悖论的问题。
假设你对自己心灵的实在性感到怀疑，那么，你在怀疑“你在怀疑”这件事——这样一来，你始终在怀疑。你可能在许多方面都受到蒙蔽，但是一定至少存在着一个正在遭受蒙蔽的心灵。笛卡儿由此得出著名的结论：“我思故我在。”
我们似乎发现，世界上所有著名的宝库均可用同一把钥匙打开——如果有这样一把万能钥匙的话。是否存在某些（或全部）NP完全问题的有效解？今天这仍是数理逻辑中最深奥的未解之谜之一。
分歧由此而生。法国哲学家兼数学家勒内·笛卡儿（Rene Descartes）在《第一哲学沉思集》（1641年）中得出结论，他不可能完全肯定自己没在做梦。大多数人可能会反对笛卡儿。比如，此刻你就没有做梦，而且你知道这一点，因为梦境中的体验与清醒的生活不同。
布林莫尔有位年轻姑娘
有一回出了大洋相
她松开了裙子的束腰
露出了——
嗨，我没法儿对你讲[2]
一直以来，知识的问题始终吸引着哲学、科学乃至于文学等诸多领域中众多最聪明的头脑。哲学家把关于这个问题的研究称为“认识论”，在更严格的科学化语境里，则采用了一个比较新的名称：“证实理论”。认识论和证实理论都在研究我们如何认知我们已知的东西，探查从证据推演出有效结论的过程。
笛卡儿的“邪恶的天才”标志着一个开端：我们开始探究自己如何才能确信我们已知的。笛卡儿写道：“若干年前，我发现了一个令我震惊的事实：我童年时信以为真的许许多多的事情其实都是假的，而我的整个知识大厦是建立在这些错误之上的，全部知识在本质上是极为可疑的。我意识到，如果我希望建立任何科学的、可靠的、有可能经受住考验的知识，就必须在我的生命历程中做一回这样的工作：彻底推翻一切既有成果，从最根本处着手重建知识体系。”
前文“缸中之脑”悖论描述的全部要点，笛卡儿的恶魔同样具备。其实，彭菲尔德所做的实验不过是通过实操证实了笛卡儿的哲学沉思。彭菲尔德实验中的幻象比梦境和回忆更真实，虽然也还不是完全真实。彭菲尔德的病人在具有双重意识的状态下描述这些幻象：当他们细腻地再现过去的经历之时，仍能意识到此刻自己正处在手术台上。
·由于梦境极少是彩色的，所以桌上这枝红玫瑰就能证明你是清醒的——这个说法也不可靠。彩色的梦境并不罕见，许多人都做过彩色的梦。况且，即使你过去从未做过彩色的梦，将来你还是有可能与彩色的梦境相遇。
威力较大的悖论通常表现为思想实验的形式（思想实验可用德语词“Gedankenexperiment”来表示）。思想实验展示了某种可以被设想但难以实际达到的状态，以形象的方式揭示某些我们习以为常的观点可能导致的荒谬结果。
当你获得逻辑或数学方面的有效结论时，你的大脑显然处于某种特定状态。对于操纵“缸中之脑”的幕后黑手来说，既然他可以就物理世界欺骗你，又有什么力量能阻止他在算术领域也欺骗你呢？这种情况是有可能的：“2+2=62 987”，但是这个疯狂的科学家用一种精密的方法刺激了你的大脑，让你误以为等于4，还让你相信，“2+2”明显等于4，并且你可以证明结果是4。他们有可能制造了一系列的“缸中之脑”，其中每一颗对于“2+2”等于几的看法都不同，而且每一颗“缸中之脑”都对各自的结果深信不疑，认为其结果符合“实际”。哲学家的怀疑很少能推进到这种程度——经验世界中的东西已经够他们怀疑的了。
伽利略（Galileo Galilei）设计过一个思想实验来证明较重的物体下落的速度并不大于较轻的物体，这个思想实验是最简单并且最成功的思想实验之一。假设一个10磅（约4.536千克）的铅球比一个1磅的木球下落速度快（在伽利略的时代这是主流观点）。我们用一根绳子把两个球系在一起，从高处抛下来。由于木球较轻，它会在后面拖着铅球，并把绳子拉紧。一旦达到这种状态，木球开始在铅球的拉力下下落，于是我们得到一个重量为11磅的整体。这个整体比单独的一个球更重，所以其下落速度应当超过任何一个球单独下落的速度。然而，一旦绳子被拉紧，整体下落的速度将加快，这是否可信？虽然这不是完全不可能的，但已经足以令我们对最初的假设产生怀疑。这个思想实验不同于大多数的思想实验，它很容易进行实际操作。伽利略把重量各异的物体抛下来，结果发现它们下落的速度相同（与传说不同的是，实验地点并不在比萨斜塔上）。当然，今天我们在伽利略的思想实验中已经看不出丝毫具有悖论性的东西了，因为重力加速度与重量无关的知识已经深入人心。
[1] 塞缪尔·泰勒·柯尔律治（Samuel taylor Coleridge）的杰作《忽必烈汗》是在梦中诞生的。柯尔律治在研读忽必烈大帝的历史时睡着了，做了一个梦。令人震惊的是，梦境异常清晰：他梦到了一首300行的诗。醒来后，柯尔律治爬起来，想趁着还有印象时，把诗记录下来。他记下了大约50行——这就是我们所知的《忽必烈汗》，可是他被一个来访者打断了。以后，其余的250行他只能记起只言片语。然而，柯尔律治在现实生活里就是一个诗人。我向大家推荐的这种鉴定方法只适用于那些没有做过打油诗的人。此外，柯尔律治的故事也许不足为例，因为此人曾服用鸦片当安眠药。
J.V.的经历是20世纪思想史上的一个里程碑——虽然其意义当时未引起足够的关注。J.V.是一个14岁的女孩，实际上，此刻她并非身处夏日的原野，而是躺在蒙特利尔神经学研究院的手术台上。她的医生怀尔德·彭菲尔德（Wilder Penfeld）正在尝试通过一种实验性的手术治疗她严重的癫痫症。手术小组已经掀开了她颅骨的侧面，让她大脑的颞叶露了出来。为了确定病灶的位置，彭菲尔德用电极探查她的大脑，电极连在一台脑电图描记器（简称EEG）上。手术需要医生和病人的合作。在整个手术过程中，J.V.必须保持清醒，帮助医生确定病灶的位置。当彭菲尔德的探针触到J.V.的大脑颞叶的某个特定位置时，她发现自己又一次置身于草丛中……
这种推理名为“三段论”。演绎推理的独特之处在于，前提中的具体内容与推理过程无关，无论苏格拉底、洛克菲勒还是爱伦·坡的乌鸦，全不受影响。
科学绝不仅仅是各种零散信息的简单汇集。它不但包括搜集信息，而且包括对信息的理解。至于什么是“理解”，令人惊讶的是，这个哲学性的问题有一个简单却相当确切的答案。
本书讨论与知识有关的悖论，这些悖论展示了我们以何种方式认识事物。乍看起来，“认识这个宇宙是什么样子的”这个目标是不可能实现的。彭菲尔德的实验表明，每个记忆对应着大脑中处于特定的物理位置的痕迹。我们知道疯马酋长[5]、霜冻和塔斯马尼亚岛，这就意味着在我们的大脑中有某些部位对应着疯马酋长、霜冻和塔斯马尼亚岛。也许这些位置是不固定的，也许这些位置有重叠部分，也许存储和唤醒记忆的机理的复杂程度远远超过我们今日的想象，但无论如何，记忆痕迹所占据的位置不是无穷小的。你心中的疯马酋长的图像占据了大脑存储容量的一部分，这部分存储空间在同一时间内不能保存任何其他东西。
这种奇异之处具有不可思议的重要性。由于悖论不能归结于某个局部问题，所以可满足性问题通常是极其困难的。实际上，此问题以困难著称，甚至被作为困难的典范。其困难之处在于，随着前提数目的增加，为检查前提内部是否包含矛盾所需的时间会以惊人的速度增加。增加的速度如此迅速，以至于许多包含100个（或更多）前提的可满足性问题从实际应用角度看是不可解的。即使把这些问题交给现有的运算速度最快的计算机，从实际角度看，要花费的时间也相当于无限长。
可满足性讨论的是逻辑领域的抽象概念，不必涉及真实世界中的真理。比如以下两个命题：
但是，既然我们的大脑可以正常工作，这表明大脑是在有选择地存储信息。为了对抗世界的复杂性，最基本的工具就是概括，我们的大脑会在很多层次上进行概括。科学是一种自觉的、系统化的、以概括为基础的简化手段，通过这种手段，巨大而辽阔的外部世界被打包进我们微小的大脑。
“不是这样吗，米里亚姆？”
·与梦境相比，现实生活中的细节显得更加丰富，一致性也更强。因而，如果你可以站在一堵墙的前面，检查墙上每一条细小的缝隙，这就证明你是清醒的；另外，如果你能用计算器把一些数字加起来，这也可以证明你是清醒的。这种鉴别方法比前两种好，但还是不够严密（说不定在你听说用检查墙缝的办法可以辨别真实与幻觉之后，你就会梦见自己在检查细小的墙缝）。
一个流行的答案是，逻辑真理和数学真理是最可靠的。你可以怀疑你的老师受阴谋政府的指派，从小学一年级起就开始向你灌输假象，但是你无法怀疑“2+2=4”的真理性。此刻你可以在纸上画两个圈，在旁边再画两个圈，一共是4个圈。在任何可能的世界中，这一推导看来都是明白无误的真理——在我们相信真实存在的外部世界中，在“缸中之脑”实验室中，或是其他什么稀奇古怪的地方，都是如此。
我们可以把悖论当作一个隐喻，一种揭示理解的限度的方法。科学试图用简单的概括来解释形形色色的事实。面对一组知识或观念时，如果我们甚至无法发现其中包含的尖锐矛盾，那么我们其实根本不能理解它们。可满足性问题的难度是一个粗略的指示，它揭示了把经验信息“压缩”进概括之中是多么困难。可满足性为获取信息并从中推出结论的难度设置了一个大致的限度。
