整数的话，就必须有点什么吗？
“是、是么……”泰朵拉红了脸。
我们把由所有对构成的集合称作
“等一下，麻烦等一下，我有 Déjà vu5。好像以前我们也讨论过类似的 ……”
虽然我还不知道这个发现在数学上有着什么样的意义，但是我感到很多事物是相连的，是紧密地联系在一起的。此时的我因为太过感动而说不出话来。而且，我们只花了少许工夫 —— 举出具体例子、思考式子、用图思考，这一切就呈现在了我的眼前。
“……呐，泰朵拉。我也发现了点东西，或许能带给我们很大的启发呢，要听听看吗？”我说。
米尔嘉刚开口说了个“我们”，盈盈就赶紧拿手指戳了戳她，然后两个人就都沉默了。米尔嘉到底想说什么呢……
“我还发现这跟‘比’很像。比的性质是‘外项之积等于内项之积’，对吧？比如说，因为 2:3 等于 4:6，所以 2 和 6 这两个外项的乘积就等于 3 和 4 这两个内项的乘积。
“不过，可不能在这儿就气馁，对吧？我觉得，要想找到‘不明白的初始点’，应该一步一步、踏踏实实地思考。”
“分析跟综合？”
“往天空飞？”我妈说道，“如果没有地面，往天空飞就好啦。”
“这问题真不可思议呢。”泰朵拉说道。
这里是礼堂，现在众人正在为明天的毕业典礼做准备。
“把对于 (a,b) 这个对进行的操作看成对于a-b这个整数进行的操作……”
我说着，在斜线的右上方写下了整数。
泰朵拉紧张而专注地看向笔记本。我注视着这样的泰朵拉。她心里想的都直接写在了脸上：瞪大眼睛是在想“啊，我或许明白了”；皱着眉头是在想“不对不对”；歪着头咬着嘴唇是在迷茫“要怎么办才好呢”；眼神游移后，抬着眼看我则是在开始想“是不是问问学长比较好”……
把“重叠”的对用线连起来
我妈带着我，开了 30 分钟车，来到了一家位于郊外的餐厅。菜肴的香气迎面扑来。“Buona Sera9！”招呼声很洪亮。开朗热情的意大利人包围了我们。我妈点了海鲜意大利面和沙拉，我点了披萨。
“跟成绩什么的没关系。你是我生的。你开始走路那会儿，我还记得很清楚。你摔倒过好几千次，还记得吗？”
“诶？”泰朵拉大大的眼睛转了转，“学长，这就是说，当a-b等于c-d，即差相等时，(a,b) 和 (c,d) 这两个对才重叠……？”
也就是说，对的性质是‘外项之和等于内项之和’，对吧？话说，比的性质和对的性质还真像啊！”
我在自己的房间里，现在是夜晚。
解答 8-1（对的加法运算）
可以用以下式子定义 (a,b) 跟 (c,d) 这两个对的加法运算。
“看来光用说的，还是讲不明白啊。”米尔嘉说道，“那么，我用外延表示法写一下
进行a-b跟c-d的加法运算，形成“左－右”的形式就好了吧。
啊！难不成，跟 (a,a) 重叠的对与整数 0 对应？
“啊，是的。”
米尔嘉从我的手中抢过自动铅笔，把斜线向左下方延伸。
我不由得站了起来。
“怎么可能记得啊！”
“集合除以等价关系，就能得到一个新的集合。我们把这个新的集合叫作商集。由所有对构成的集合除以‘
同构是含义之源。
“我最先做的，就是根据‘示例是理解的试金石’来尝试举出具体的例子。我首先举的是……”
我明白了！
“没错！把满足群的公理的运算都同等看待成群……”
“你需要无力考试啊。”我妈眼都没抬，继续看着菜单说道。
“等价关系指的是刚刚说的满足等价律的关系。换句话说，满足等价律的三个性质的关系都可以看作是等价关系。从等号具备的特殊性质中提取出三条，寻找具备这些性质的其他关系，例如‘对重叠’这种关系。因为‘对重叠’这种关系是等价关系，所以能适用于等价关系的性质全都能适用于‘对重叠’这种关系。”
整数的和 —— 区区的加法运算。
“泰朵拉，你来得真早啊。”
“诶？我干了什么来着？”
我不知道要思考些什么，要怎么思考。虽说按经验而论，村木老师的卡片最多是一个让我们“学习的契机”……
“是啊。”我回答。
我一下子回头，看向身后。
“此外，根据 1 + 3 = 2 + 2 这个式子，我们还能得到一组。”
“是啊。”
嗯，很好！因为 6 - 3 = 3，所以说得通！
这次的式子a-b=c-d也像是一个制约条件啊……对并不是分散的。把a-b的差相等的对，也就是重叠的对收集起来，就能构成一个集合。这个制约条件到底会衍生出什么样的结构呢？
“啊！”我惊道，“这就是泰朵拉之前说的那个吧。”
自反律可以用以下式子来表示。
我突然想起了泰朵拉之前说过的一句话。
“咦？你们挨骂了吗？”泰朵拉问道，“明明弹奏得那么感人……”
站在我身后的是米尔嘉。
“a+d和b+c的话，在自然数范围内还不足以达成未定义的条件，所以我们可以放心地用下面这个式子来定义‘重叠的对’。”
“换成你，会怎么挑战这道题？”
◎ ◎ ◎
证明瞬间就能完成。对于任意自然数m、n，存在m+n=m+n，因此对 (m,m) 和对 (n,n) 重叠。
这故事我已经听过好多回了。连“这里是八甲田山吗”这句话都一模一样。我平常总是说“够啦，别再讲啦”……可是今天听起来，却似乎有一点不一样。
“泰朵拉你注意到了有理数啊。”米尔嘉说道。
式子不难，可这里好像有一堵透明而坚硬的墙壁，而我“咣”地一下撞到了墙上，没法再往前走了。
“是有什么特殊的含义吗？”泰朵拉说道。
好的，看来整数也能做了，那就睡吧。哈哈，说什么“整数也能做了”，搞得像拼装塑料模型似的。我边哧哧地笑着边做着睡觉的准备。
“没错。话说回来，a+d=b+c好像有点什么含义啊。”
我妈把手支在桌子上，托着下巴看向远方。
传递律可以用以下式子来表示。
“《萤之光》。”盈盈回答道。
然后，当a等于 2 时，我们就能得到下面这些对。
“一、一、二、三。”“学、学长！”“我找到了一个很好的对应。”“放学时间到了。”“对，说的是呀！”“计算错误。”“小数学家？”“证明是一瞬间的事儿。”“怎么读啊？”“唔……”“快递快递！”“这样就成了除以 0。”“啊呀呀！”“快乐的旅行。”“我一生都不会忘记。”“我已经记住了，你放心吧。”“学长，大发现大发现！”“除了表示虚数单位以外，还会有什么呢？”“我不明白。”“如果半径为零的话也要保持一定距离吗？”“我会加油的！”“你还没发现吗？”“我有问题！”“好了，到此为止我们的工作就结束了。”……
三月来了。从风中可以感觉到春天的气息。
我妈用拿在手里的菜单隔着桌子敲了一下我的头。
要把哪种可能性射影到自己的时间上呢？我们必须作出选择。
“我也是。这张卡片里的‘对’，指的到底是什么呢……”
四下沉默无声。
因为
“总感觉……有一种要从悬崖上摔下来的心情，明明什么都还没准备好……可是还有一个月就上高三了，还差一年就高考了。日子过一天，我就离悬崖近一点 —— 地面在慢慢消失。我该怎么走呢？”
“那么，泰朵拉我问你，对不等于‘≠’这个关系来说，这三个性质中的哪一个会成立呢？”
自反律、对称律、传递律合起来叫作等价律。此外，满足等价律的关系叫作等价关系。“
1同构（Isomorphism）是在数学对象之间定义的一类映射，它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。——译者注
“‘啪嗒啪嗒’挥动两只翅膀的话，就能飞起来。你可能不信，但是你能飞。左边和右边，有这么一对翅膀就足够啦。悬崖不就是为了飞翔而存在的么。你在害怕什么呢？”
“还不能回去么？真没效率呀。”盈盈说道。
咦？
“我来举个不是等价关系的例子。例如数的大小关系‘<’。对于这个关系，传递律成立，而自反律和对称律不成立。”
“成立。因为‘a≤a’是‘a<a或a=a’呀。”
数学，是一门给不同东西赋予相同名字的艺术。
——庞加莱
“x坐标是a，y坐标是b的格点可以视为矢量 (a,b)，也可以视为对 (a,b)。那么，就这个格点的所有情况的集合来说，我们应该如何用图来表示‘重叠’这个概念呢？如果能用图表示出来，那么我们也就能明白，村木老师为什么要用‘重叠’这个词了。”米尔嘉说道。
然而却能被看作是二维向量的和的“影子”！
“你发现什么了？”我问道。泰朵拉说的“发现”一般都跟数学上的重大发现相关，因此不可小觑。
很好很好，不错啊！也就是说，左边变成了a+c，右边变成了b+d。换句话说，我想让两个对的和变成下面这种形式。
“我看到这张卡片的时候，觉得这里面的每个词都不难。也就是说 ——
你看，这样一来，我们就能得到下面这个式子。
喔喔！难不成，把 (a,b) 的左右互换而得到的 (b,a) 是？
在等待上菜的这段时间里，我四下看了看店内。既有情侣一起的，也有全家人一起的。吉他的伴奏声非常大，但并不让人感到难受。店里的伙计围在对面的桌子边，唱着生日快乐歌。
什么才是整数的本质？
又被批评了！
“啊，是这样呢。”泰朵拉说道。
把对的集合看作整数，这是自然而然的吗？
对称律可以用以下式子来表示。
但泪水随音符渗入心底，这首盛大的毕业终曲，也成为了令人难以忘怀的回响。
“在构建具体例子的过程中，下意识地找寻规律，发现较短的表示方法”。
“人的一生，会遇到各种各样的事。你三岁那年冬天，有天夜里下了大雪，你发着高烧，咳得很厉害，差点死掉了。下着大暴雪，车都开不动，你爸也还没回家。你妈我啊，就背着你一直走到了邻镇的医院……到医院的时候我已经跟雪人没两样了，还问人家‘这里是八甲田山 10吗’。”
用自然数的对来定义整数。有意思。
对的集合是整数时能马上实现的，是加法运算。
“你想想，你不是说过吗？对的性质 —— 外项之和等于内项之和，跟比的性质 —— 外项之积等于内项之积很像。”
“……”
“靠等价关系能办到些什么呢？”我问道。
“是村木老师的卡片？”我在她身旁坐下。
“对啊……原来如此。”
在像
然而，还没来得及研究这句话的含义，我就进入了梦乡。
“我……在干什么呢？”
……嗯。因为我想同等看待对 (a,b) 跟整数a-b，所以是不是只要参照整数范畴内的加法运算就可以了呢？
相对地，(2, 3) 跟 (4, 5) 这两个对重叠时，2 和 5 这两个外项的和就等于 3 和 4 这两个内项的和。
毕业生、在校生……当然，其中也包括我。
迷茫、焦躁、烦恼、闲适、学习、愤怒、喜悦……
由跟 (1, 1) 重叠的对构成的集合可以写成下面这样。
“Represent 6这个集合的元素？”泰朵拉问道。
“是这样。”
嗯，如果以
我坐在书桌前，学校的作业已经写完，现在我要开始思考自己的数学。
“喔……”看来她还没反应过来。
先做个加法运算试试吧。
“我看到这个式子，马上就想到‘移个项吧’。
◎ ◎ ◎
“老妈我来开车，副驾驶给米尔嘉坐。泰朵拉跟盈盈，还有尤里也会想来吧。嗯嗯，你看，坐五个人刚好不是吗？”
“……没法再往前走了。”泰朵拉用双手作出“咚咚”锤墙状。
确实，比起列举元素，这样表示更简短。
“再用一次……指的是？”
“说起来，你从小鼻子就好使……可惜闻不到自己身上的味儿。你在幼儿园尿裤子那次……”
我感到有种美妙的东西正在我眼前闪烁。
诶？还能把这两首歌混在一起弹？
今天是毕业证书颁发仪式 —— 我现在在礼堂。
我最不明白的是卡片上写的“重叠”这种说法，还有
这是我们熟悉的旋律。这……
“学长，这次能先听听我的分析吗？”
该式子表示的是，即使把左边和右边互换，“
“原来如此……‘重叠’的对在二维平面上真的是斜向‘重叠’的吗？”我说道，“这一条条斜线对应着重叠的对的集合。也就是说，一条斜线对应一个整数，对吧。”
许许多多的问号从我的心底涌现。
“不过，把与 (a,b) 重叠的集合跟a-b作同等看待这个思路，很好啊。”
该式子表示的是，如果由 A 可以到 B，由 B 可以到 C，则可以跳过中间的 B 直接由 A 到 C。
然后我就想：所有对构成的集合是什么样的呢？我们刚刚具体举了几个对，这个集合的元素就是这些对，是吧？可是，我虽然像下面这样把这个集合写了出来，却并没有什么重大发现。
“代表元素……”泰朵拉重复道。
“如果用比相等这个等价关系当除数……”米尔嘉说道，“这个商集的元素就会变成由比相等的对构成的集合。分数的约分计算遵循‘比不变’的原则。也就是说，约分这种计算能让元素不跳出由比相等的对构成的集合。”
“啊！对啊。就是举几个具体的重叠的对的例子吧？我明白了。麻烦先给我点时间。”
数学、数学、数学。我为什么要学习呢？学习眼前的事物，然后想进一步学习，就去买了书。村木老师也给我介绍了一些书。不过，以后呢？
“跟实力考试相反的无力考试。你干嘛要一个人绷得死紧？你得加把劲好好放松才行。大家都非常喜欢你。”
“差为n的对的集合”能够跟“整数n”一一对应。
能定义对的加法运算“
其他集合也可以这样来表示。例如差是 1 的集合。
“无力考试？”什么意思啊？
是校歌。
再进一步缩短的话……
明天就是毕业典礼了……不过我才高二，其实跟我没啥关系。今天放学后，我照常去了图书室。活力少女正坐着研究数学。
刹那间，在校生的掌声也停下了。
“不过，再准确点儿说的话，不是对跟整数对应，而是‘由互相重叠的对构成的集合’跟‘一个整数’对应。”
“这就是所谓的‘装作不知道的游戏’吧？”
“是哦……”
自然数的对的集合，会构成整数！
和弦 3 要怎么办？
不过，我现在并没有装作不知道。当时，泰朵拉刚接触到皮亚诺公理。事实上我们并没有去思考后继数表示的是什么，而是只跟着公理去往下思考。跟着公理，渐渐看到了自然数的结构。公理是制约条件，制约条件衍生出结构……咦？
“没想到你小时候那么认生，现在倒还挺抢手的呢。这帮女生也挺有眼光的。对了，下次带着她们一起去兜风吧？嗯，一定很欢乐。”
“定义……整数……”泰朵拉下意识地说道。
“啊……这么说来确实是这样。”泰朵拉说道。
9意大利语，“晚上好”的意思。——译者注
“……”我说不出话来。
“不过，现在你马上就上高三了……时间过得真快呢。”
校歌跟《萤之光》同时流淌而出。
然后，让我担心的事情是下面这些。
虽然有人常说“年轻人身上潜藏着无限的可能”，但时间是一维的。
往杯子里倒上水，一口气喝光。
老师和学生们正在摆椅子，以及为讲台装饰花朵。
热闹的吉他声、小孩的笑声突然都消失了。
对！没错！
“还要弹校歌。”米尔嘉回答道。
于是这两个独立的世界，
或者说这两份独立的孤独所能互相给予的，
不是比各自孤单、羸弱时更多了吗？
——《来自大海的礼物》
我已无法止住眼中汹涌而出的泪水。
“英语叫作 Representative。”米尔嘉说道。
“啊……这样呀。往x轴上射影的话，影子就会刚好落在对应的整数上……诶？等一下。如果对的和也是向量的和，那么我们随意画个向量的和的图形，然后观察向量的和的射影，就会发现它正是向量在x轴上的和？”我问道。
毕业典礼这天，我们仍然在图书室研究数学。
这个式子本身的含义是“a+d跟b+c相等”，这我当然明白。可是，So what ？所以呢？
“要写的话，这么写比较好。”
“是这样。”我说。
批评开始了！
她们在用重混 2 的手法弹奏《萤之光》跟校歌。
自己的数学……我回忆起高一的时候。
“大家？”
噢！就是说，把左边这一堆和右边那一堆加起来就好了么？也就是说，使用 (a-b) + (c-d) = (a+c) - (b+d) 这个式子来把对的加法运算定义成下面这样，这个主意如何？感觉靠谱！
虽然自由，却受着制约。虽然受着制约，却 —— 自由。
“因为a、b是自然数，所以先在第一象限里画出格点 4。”
“原来如此……构建了一个集合的集合呀。”
“如果，是这样的话……”我吞吞吐吐。
“‘等于’是等价关系，这没错。”米尔嘉点头，“因为原本等价关系就是把等号创造出的关系一般化而得来的。等价关系体现的是‘在某种含义上相同’。”
这个式子表示的，是某个对重叠于其他对的条件。这点我明白……可是这个式子到底意味着什么呢？
大家的目光一下子都集中到钢琴那边。
“你们要弹什么？”我问道。
“要是我们只知道自然数，就会出现a-b未经定义的情况。例如，2 - 3 在自然数范围内就是未定义的。因此，用a-b来定义‘重叠’不太好。”
“……”
就这样，今年的毕业典礼闭幕了。
说得通……不，等一下。这是理所当然的啊！我想说明的跟这个很像，但又不是这个……嗯，脑子乱了，整理一下吧。我现在想要对比思考整数和对，“=”和“
3在音乐理论里，和弦（Chord）是指组合在一起的两个或更多不同音高的音。——译者注
“把‘
构建新的数字的世界也是数学呀。数学，真是一个越学越深奥、越学越广阔的世界。
“刚才你想理解的是下面这个吧。
“倒是没怪我们，老师也在苦笑 —— 话说，这张卡片是？”
也是，传统曲目嘛。
然后，把a+d=b+c这个式子变形成a-b=c-d的话，就可以说“在 ( 左, 右 ) 中，左和右的差相等的对互相重叠”。例如，差是 1 的对互相重叠。
“颁发‘证明毕业的文件’的仪式……么？”我说道。
我注视着笔记本思考着。
由于这就像是反射在镜子里似的，所以我们把它叫作自反律。
“除了有理数，商集还有很多种。例如整数集除以‘除以 3 而得到余数相等’这个等价关系后得到的商集合
“这里是我没说明白。”米尔嘉说道，“我在解释自反律、对称律、传递律之前，应该事先声明‘对于所有元素来说’这个前提的。也就是说，只要对于一个元素来说不成立，那就是不成立。”
对的加法运算 —— 首先应该从哪里开始考虑呢？
老师给的那张“重叠的对”的卡片很奇妙：它并不是让证明一个恒等式，也不是让解方程式。卡片里只是用由自然数构成的组合定义了“对”这个概念，并通过
换句话说，就是这么回事。”
《萤之光》的旋律开始流淌。毕业生依次起立，从在校生中间穿过，走出礼堂。我们这些在校生则用掌声为他们送别。我正要再打个哈欠 —— 却突然睁开了眼。
“没……只是觉得对跟有理数的形式很相似。”
这个符号很奇怪。总之呢，这个符号就是‘集合 / 等价关系’的一种直截了当的表示方法。”
7意为定义明确。——译者注
校长致辞、嘉宾寒暄……仪式安静而严肃。现在总算要结束了，负责主持的老师走向麦克风，麦克风轻轻“嗡”了一声。
“那我坐哪儿啊？！”
该式子表示的是，即使以自身为对象，“
“明天之前应该能准备好吧。”米尔嘉说道。
正在那儿弹奏的，是盈盈和米尔嘉。
“啊，这点我也很在意。”泰朵拉说道。
高考、高考、高考。我为什么要参加高考呢？小学跟初中那会儿，我从来没想过为什么要参加升学考试。因为初中成绩不错，就升到这所重点高中来了。
米尔嘉总是把向量叫作矢量。
“作为商集的有理数肯定会是这种形式啊！”我往笔记本上写道，“那么，假设把分子、分母的对写成 ( 分子, 分母 )……”
“分析 —— Analyze，也就 是‘拆分’。综合 —— Synthesize，也就是‘合成’。经过拆分、合成，理解就会变得深入且有趣。”
现在是凌晨两点，我站在厨房里。
“当然可以呀。”
“带等号的大小关系‘≤’则是自反律和传递律成立，对称律不成立。”
米尔嘉往上推了一下眼镜，继续说道：
“等一下。”我插了句嘴，“对于‘≠’这种情况，不是‘传递律不成立’，而是‘传递律不一定成立’吧？因为……”
“诶……原来用对能构成整数呀。”泰朵拉感叹道。
简短的表示方式 —— 原来如此，用集合的内涵定义就能简短地表示出来了。
“举个例子，有理数。有理数集可以看作是一个‘元素是成对的分子和分母的集合’除以‘比相等’这个等价关系而得到的集合。”
“你的弱点是不肯画图。”
“这个……因为它是等于的反义词，所以这三个性质都不成立？”
在关上卧室灯的那一刹那，泰朵拉的话突然在我脑海里一闪而过。
“我们像下面这样把重叠的对用线连起来试试。”
“来，我们吃吧！”
第一象限里的格点
“去‘除’集合？”
4数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（Lattice Point）或整点。坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形，类似有格点多边形的概念。——译者注
我把“重叠的对”的卡片递给米尔嘉，说了我得出的结论。
“此外，我们有时会从商集的各个元素 —— 聚集了相同元素的集合 —— 里面选出一个元素，这个元素叫作代表元素。”
“要是我，一看到这个，就会想起‘矢量的和’……”
“别说啦，妈！”
写着写着，我就想到：“原来如此。因为这些对都是由自然数构成的，所以不会出现 0”。也就是说，没有 (0, 0), (0, 123), (314, 0) 这样的对。
马上就上高三了……我突然感到一阵害怕。
“我说，妈。”
一条斜线对应一个整数
这些说法都不难。而且，也没有出现像
“这个看起来很好吃！ Torta Cioccolata 好像是巧克力挞，Crema Catalana 应该是法式焦糖布丁吧。甜品菜单上得配照片才行啊，只有文字说明，哪知道是什么样的呀。”
“没错，看来能得到很多组呢。”
向量的和
米尔嘉总这么说。
“对。用等价关系去除集合。我们来回忆一下你都干了些什么吧。由所有对构成的集合
我跟泰朵拉讲解了我昨天晚上的成果。而她似乎也被卷入了那首毕业终曲的漩涡之中，眼睛周围又红又肿。
6意为代表。——译者注
“用集合除以等价关系，从而构建商集 —— 这种手法很常见。”
好吃极了。
我们已经找到了几个在由对构成的集合中成立的性质了。例如 (a,a) 这种形式的对都互相重叠，也就是下面这样。
“……原来如此。那如果换成 +，就没关系了吧？”我也下意识地说道。
我妈这一席话支离破碎，从逻辑上来讲含义也不明确。但不可思议的是，我的心居然恢复了平静。因为是妈妈说的话么？
“喔……也是啊。”
“妈，晚饭吃啥？”
我往披萨上浇上掺了辣椒的橄榄油，咬了一口。
现在是晚上。等了许久都没有开饭，于是我跑到餐桌前问道。
“把等于这种关系拆个七零八碎，从里面提取出三个特殊的性质，然后构建一种具有这些性质的其他关系 —— 这里出现了分析跟综合的思路。明白么？”
“因为高考很重要。”
“糟了，咱们开车来的，喝不了红酒呀！”
“向量的和……啊，确实如此。它跟对的和形式完全一样！”
看，把‘内项’相加了。不过到这里，我还是觉得 So what……”
好，我要试着更进一步发掘这个对的性质！
时针已经走过了晚上 11 点，马上就到半夜了。
问题 8-1（对的加法运算）
定义 (a,b) 和 (c,d) 这两个对的加法运算
“是啊。”我点点头。
我之后又定义了对的符号变换、对的减法运算、对的大小关系。
“用比相等这个等价关系当除数的想法很有意思呀。”我说。
米尔嘉拿起我的自动铅笔，在笔记本上画出格点。
……对啊，先别管加法运算了，“相等”这个概念都还乱七八糟着呢。我还没有好好定义 (a,b) 跟 (c,d) 这两个对相等指的是什么。合适的定义应该是像下面这样的。
“唔……这样啊。可是，你的解释有点无聊啊。”
“难不成……难不成村木老师想跟我们玩个文字游戏，不是‘Peano 算术’而是‘Pair No 算术’8？”
“这想法很了不起嘛。”
“图？可是……”
我们心中泛起了无法言说的涟漪，满是回忆。
“对。如果我们想把‘
“话说，泰朵拉。”我说道，“你相当厉害啊！虽然你理解起来需要花很长时间，可是一旦理解了，就能把学到的东西完全消化吸收。我觉得，你这种不轻言放弃的劲儿，真的是一股巨大的力量。”
“尽全力去拼吧！不要紧，你肯定能走稳，肯定能飞起来。”
影子斜着落下的位置是对应的整数
会对你说上面这种话的人，其存在本身就很珍贵。教师的存在……么？
我必须真真正正地靠自己的能力来想出“对的加法运算”。
“学长，我试着写了几个例子。”泰朵拉把笔记本拿给我看，“因为卡片上写的‘对’重叠的条件就是
“这个是……研究课题对吧？自己出题自己解……”
“群论。”米尔嘉说道。
“在你会走之前，摔倒了多少次啊……可是你现在先迈右脚后迈左脚，迈完左脚迈右脚，很自然地在走着啊。明白吗？你不要紧的。因为没准备好所以担心？说什么呢，人生就是要勇敢冲撞尝试呀！”
“我们从‘重叠的对’继续往下思考，看看等价关系吧。”米尔嘉说道。
“你这么急着回头，是怎么了啊？”一如既往的、冷冷的声音。
毕业生接二连三登上讲台，领取毕业证书。
你看，这就是把‘外项’相加。然后，b+c就是……
明年的现在，我会是怎样的心情呢……我边这么想着，边打了个哈欠。昨晚完全没睡够。
隐约的香气……
——毕业生，退场。
“就是你之前干过的事儿。”
“我跟盈盈被叫到老师办公室去了。”米尔嘉说道，“因为我们之前没打招呼说要重混。”
（重叠的对）
我们把由两个自然数构成的组合叫作对（pair）。
(a,b) 自然数a和自然数b的对
如果对于两个对 (a,b) 和 (c,d) 而言，存在a+d=b+c，我们就说 (a,b) 重叠于 (c,d)，记作
“比的性质是‘外项之积等于内项之积’……”
对……会变成整数么？
“为什么村木老师要用下面这种定义呢？虽然你一下子就移项了……”
“
“米尔嘉学姐……”泰朵拉小心翼翼地举起手，“这三个性质我基本明白了。可是，刚刚学姐说的‘把等号一般化’这个地方我还不太懂。因为讨论数字的时候，或是讨论集合的时候，我们都会用到等号，这本来就很一般化了吧……”
“禁止酒后开车。”我说。我妈听到后一脸不情愿。
“嗯……对对，我举了具体例子才注意到，如果‘外项相加’等于‘内项相加’的话，对就会重叠。比如说，a+d就是把a和d相加……
内心冷不防地被这些情绪撼动，泪水不由得涌了上来。
或者，差是 -1 的集合。
5法语单词，意思是“既视感”，也可译为“幻觉记忆”，指人在清醒的状态下第一次见到某场景，却感到似曾相识，是一种常见于大多数人的生理现象。——译者注
不过，只是有了对应关系，也没什么意思。
“回答错误。”米尔嘉说道，“不能凭主观印象来回答。必须逐一确认才行哦，泰朵拉。”
我首先举的是“对”的例子。卡片上写着“我们把由两个自然数构成的组合叫作对（pair）”，所以，我就在笔记本上写了几个对的例子。比如，假设 (a,b) 中的a等于 1 时，b等于 1, 2, 3, ...，这样一来，我们就能得到下面这些对。
然后，在集合
米尔嘉轻轻扶了扶眼镜，摇了摇头。
“啊……对称律成立呀。”泰朵拉说道。
“啊……对对，昨天晚上我就一直在想这个。”我说道。
自然数是 1, 2, 3, ...，而整数是 ..., -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, ...。
另外，我还随便写了一些对。
“还缺一点。你完全没画图呀。”
我是为了什么而学习呢？
“诶？”
很好很好。那么，接着就尝试一下用对来实现与 1 + 2 对应的计算吧。例如，因为 1 = 3 - 2，所以选 (3, 2) 当作与 1 对应的对；因为 2 = 3 - 1，所以选 (3, 1) 当作与 2 对应的对。然后，根据“对的加法运算”的定义来进行计算。
“没有那么深奥。要是我们知道整数，用你这种方法也可以。可是，比如，假设我们‘装作不知道’整数吧。然后，我们用自然数的组合来新定义整数。”
我想起了泰朵拉说过的话。
“当然。把格点上某个位置矢量的和斜向射影的话，就会得到整数的和。例如，把
“学长学姐，我越来越跟不上了……”来自于泰朵拉的投诉。
“呀，披萨好像烤好了。”
“是……是么？”
“希望并非如此啊。”米尔嘉冷冷地说道。
“当然了，明天就该正式上场了。”
但是，所以呢？这又怎么样呢？我不明白……
“我还写了一些其他的重叠的对的例子。”
在《萤之光》和校歌的相互作用下——
这个发现真是让人心跳不已。
“本来就不算是个‘问题’。”我苦笑道。
没有什么公式，我也没有在背诵什么。
来到这所高中后，我遇见了米尔嘉，遇见了泰朵拉。然后，我体会到了一起学习 —— 教人、被教，比赛解题 —— 的喜悦。
那么，我们就往a、b、c、d里代入具体的自然数，来看看‘重叠的对是什么样的’，怎么样？”
“什么事？”我妈抬起头问我。她正在研究甜品菜单。
必须看穿隐藏的结构。看穿之后，就能体会到一种无可替代的喜悦。
“学长！米尔嘉学姐！我有个重大发现！”
要怎么定义对的加法运算，才能形成跟整数的加法运算一样，也就是同构 1 的结果呢？
“去‘除’集合了呀。”
我按捺不住这份不可思议的兴奋之情，仿佛某种东西即将产生了。
我自己都很惊奇，我竟然发现了这一点。学长你经常笑我是“总忘记条件的泰朵拉”。的确，我总是忘记条件。不过，我居然能发现“不会出现 0”这个条件。仔细思考具体例子的话，就能发现条件中的细微之处。我发现了这一点。我发现了‘我发现了这一点’……这就是“元发现”吧。
“这三个性质不都是理所当然的吗？”泰朵拉问道，“比方说，这三个性质在等于‘=’里也成立呀。”
刹那间，毕业生的脚步停下了。
菜上来了。
高一的春天，村木老师建议我“每天研究自己的数学”。那时候我认为，每天研究数学是理所当然的事儿。因为我喜欢数学。但是，高中生活是很忙碌的。有很多课程，每天都要预习、复习，还有考试。当然，还有学校的活动。在这种情况下，必须有一种“每天去研究自己的数学”的意识，才能坚持到底。因此，村木老师给我的意见很宝贵。
我跟泰朵拉从图书室回来，顺路过来看了看她们两人的情况，本来想也许大家能一起回去呢。
◎ ◎ ◎
“喔……”
“在数学领域里，若‘形式’相似，则‘本质’也相似这种情况很多见。”米尔嘉说道。
不过，时间会流逝，时间在流逝。数学超越时间留传下来，而时间拂过众生不断流逝。有相遇，也有别离。
接下来，怎么往下思考才好呢？
“人的心会把具体的例子压缩。”
学校委任盈盈和米尔嘉在毕业典礼上弹钢琴伴奏。
我做了一次深呼吸。
8“Pair No 算术”的说法与日语有关，其中的 No 即日语单词「の」的罗马字拼写，意思是“的”。因此“Pair No 算术”意即“对的算术”。此处是一种谐音，即音同词不同的文字游戏。——译者注
“啊？嗯，当然要听。”
“那个……麻烦稍等一下。关于这个商集
“诶？我吗？”泰朵拉用手指着自己，一脸困惑。
2重混（Remix）是一种音乐技术，应用于歌曲的原来版本，经过重新混音，形成另一种版本。——译者注
饭菜快吃完了，我妈再次拿起甜品菜单。
“跟漂亮的老妈吃饭。”
“你是这么定义对的和的。”米尔嘉说道。
“我也还不明白这张卡片哪里有趣。不过，我们再用一次‘示例是理解的试金石’看看吧。”我说。
“可、可是……我还是完全不明白。”
10日本青森县中部火山群的总称，以高耸险峻、严寒冰冷著称。——译者注
我看着杯中残留的水滴，想到村木老师。老师向我们提出了一个不太难又不太简单的问题。
“毕业生就是定理呗。”米尔嘉半开玩笑地说道。
“啊！学长！”她把视线从笔记本上移开，抬起头笑了笑。
“a≤a成立……吗？”
射影后，就变成了整数的和
看看等价关系吧。
同理，差是 -1 的对也互相重叠。
泰朵拉嚷道。
“今天你爸说不回来吃饭，我没什么心情做……”我妈说道，“这样吧，我们也偶尔出去吃一顿吧。嗯……吃意大利餐。”
“诶？！重叠的对是斜着排列的呀！”泰朵拉吃了一惊。
“学校的成绩再怎么好，也不行啊！我……”
因为此时响起了一首新的乐曲，它的旋律好似从《萤之光》中流淌出来一般。
缩短……诶？
“拉倒吧，拜托你不要自作主张啊。”我说道。
“这次不是拿‘奖状’而是拿‘证书’，对吧？”泰朵拉说着指向讲台上挂着的写有“毕业证书颁发仪式”的横幅，“奖状是‘表扬的文件’，证书是‘证明的文件’。”
不过，两种旋律都没遭到破坏，都在优美地流淌着。
我使劲嗅着香味儿说道。
我们情不自禁地回忆起在这所学校度过的日子。
要令
