“原来你是这么思考的啊。”
“式子。”米尔嘉简洁地回答道。
即使 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，“某个数”也是出不来的。
我俩舔着冰激凌，开始闲聊。
“答得很厉害！但是不对。0.999 ... = 1 里的等号，跟 1 = 1 里的等号是一个意思。这里不再重新定义。0.999 ... 跟 1 是分毫不差、精确相等的。”
0.999 ... 等于 1
“话说，0.999 ... 表示‘某个数’吧？”
同样，0.99 也比 1 小。
“对对。你能把通项也写出来吗？”
……咦？
◎ ◎ ◎
尤里指着的地方是卖冰激凌的。
用 lim 这种写法的话，就是以下形式。
“无限会欺骗感觉。”米尔嘉说道，“没有几个人能模仿欧拉 5老师。处理无限的时候，如果依赖感觉就会失败。”
可是我很疑惑，这样……真的对吗？
“这个人家知道啦。”尤里回答。
我想起我们今天在音乐教室里聊的内容。盈盈很认真地看待音乐，打算从事音乐方面的工作。她在仔细考虑这件事，说“音乐属于我”。
这么告诉我的话，我就完全不会混乱了啊。”
“咦？没鸡蛋不能做饭吗？”
盈盈唬了我们一通，从音乐教室走了出去。
◎ ◎ ◎
“那这个 0.999 ... 所表示的‘某个数’就等于 1 啊！”
这时。
“就不能‘
“哥哥把刚刚我起名叫
1 - 0.9 = 0.1
◎ ◎ ◎
“米尔嘉亲，继续练习！”
“没有，是数学啦。那家伙出了这么一道题。”
“……为什么这么说？”
结完账走出超市的时候，尤里一把拉住了我的胳膊。
“钝？”
“给，尤里。”
0.999 ... = 1 正确
“尤里，你把问题整理得很好，不过我还是想按照自己的方式再来总结一下。首先，我们思考这样一个‘数的序列’——数列。为了好懂，我们给这些数起名叫a1,a2,a3, ... ,an, ... 吧。”
2巴洛克时期（即 17 世纪前后）的德国作曲家，管风琴、小提琴和大键琴演奏家。—— 译者注
“我感觉差不多明白了什么是‘无限接近’，但是一旦像 lim 这样出现式子……我就不能很直观地看懂了。”
“抱歉，哥哥。人家现在超级混乱……”
“没有鸡蛋的蛋包饭，怎么能叫蛋包饭呢！”我妈理直气壮地说。
首先，我们来把数列具体写一下。因为“示例是理解的试金石”。
“不是啦，怎么可能。”我回答。
“用式子，来定义 lim ？这，这这……怎么可能……”
“那个男生是尤里的男朋友吗？”泰朵拉问道。
“重要的是，音乐拿声音当语言，数学则拿式子当语言。”泰朵拉说道。
n→ ∞ 时
“人家认为，应该先研究 0.9，然后研究 0.99，再然后研究 0.999。”
“要举出具体例子，是吧？”泰朵拉拿起了自动铅笔。
“诶？！是不是受电视剧影响的？”
“诶？”
“你这什么问题……”
“啊……是 ……是我说的。我看。”
“所以啊，你还是可以跟之前一样，来随便问我问题。这还能反过来让我学到一些东西。”
她满脸不开心，舔了一口冰激凌。
◎ ◎ ◎
“嗯。我按着 0.9, 0.99, 0.999 往下思考发现，就刚刚的‘证明’来说，0.999 ... 会非常非常接近 1。而现在我很疑惑，因为‘不管走到哪儿，0.999 ... 都比 1 小’。它们俩在我脑子里打架。好烦啊，不明白喵。”
我买了两个香草味儿的甜筒，在吧台边上坐下。
今天是二月份的一个周六，这里是我的房间。
“你思考得很好嘛，尤里。你一个初中生能解释成这样，我觉得已经很棒了。”
就在不久前，玄关那边才传来尤里充满活力的声音“打扰了”，以及我妈的回应“来啦，外面很冷吧？”
数列的极限
持续增大n，则an会无限接近数 A。
时
数列
收敛于 A
“可能不一定是式子。”我说，“关于‘极限’的解释用到的是‘无限接近这个值’这种表述，而不是‘变成这个值’。要仔细看数学书上是怎么写的，这很重要。”
然后，我们把“数列无限接近‘某个数’”叫作收敛。也就是说，“收敛”跟“存在极限值”是等价关系。
0.9 比 1 小。
“那家伙说‘1 等于 1’，然后就开始证明了。”
“原来如此……”泰朵拉感叹道，“刚才听了学长你说的，我想‘当n→ ∞ 时，
0.999 ... = 1
不过，尤里一进房间就满脸阴沉，跟刚刚的声音正相反。她可很少会这样。
米尔嘉一直默默地听着我们的谈话，这时她突然开了口。
“没鸡蛋可就变成饭包饭了哟……”我妈双手合十，眼睛朝上望着我。
随后盈盈用她那纤长的手指，指向自己的胸口。
“等……等一下，学长。不能认为它‘无限接近无穷大’吗？”泰朵拉问道。
“尤里真聪明啊。我还觉得 0.999 ... 小于 1 呢。”
袋子里放着 —— 一盒鸡蛋。
解答 4-4
“喂，怎么了？”我弯下腰，看着她的脸。
“到底懂还是不懂啊？”
尤里沉思，我默默地等待着。默默沉思的时间。这个时间对数学来说非常重要。不被任何人搭话，不被任何人打扰，集中精神思考的时间……从厨房隐隐传来了我妈做菜的声音。
我们把数列
逐步接近的“目的地”
称为该数列的极限值，记作〔
〕。
然后，我们称数列
注意，这里只是把数列指向的目标称为该数列的极限值，
并没有说数列会到达该目的地。
这绝不，绝不（Never ！ Never ！）
意味着数列在“经过无限的操作后”等于 0。
——《无限的悖论》[12]
只见我妈穿着围裙，冲着敞开的冰箱慌了神。
518 世纪的瑞士数学家、自然科学家。——译者注
“我明白了，哥哥！人家明白了！让我来确认一下。”
1 - 0.999 ... = 0
“诶？这样证明就可以？”
“这个，‘纯’跟‘钝’长得很像啊。纯粹的迟钝。喏，就像‘三角函数’跟‘三角关系’只有一个词不同。知道么，‘天真’跟‘天才’只有一个字不同。还有‘质数’跟‘质优’也只有一个字不同……我去喝口水。”
将等式两边同时乘以 3。
“没错。这个数列会无限变大。换句话说就是，它不会无限接近‘某个数’。因此，这个数列不收敛。我们把不收敛称为‘发散’。数列 10, 100, 1000, 10000, ... 是发散数列。我们把像这个数列这样无限变大并发散的情况称为发散至正无穷大。”
“没事，盈盈你没问题的。你弹钢琴和作曲不是都很厉害么？”
“学长你跟尤里解释的时候，是用下面这种形式来表示‘n个 9 排列成的数’的，对吧？”泰朵拉说道。
泰朵拉又看了一遍笔记本。
“嗯！”
“这个嘛……泰朵拉你呢？”
◎ ◎ ◎
“我当时没能反驳他，好不甘心啊！”
8数学分析中的一个方法，只使用（有限的）实数值来讨论极限。——编者注
“嗯，对。因为用n这样的字母来表示，解释起来会轻松一些。an的n叫作下标。与其用‘0.999 ... 9 里的 9 的个数’这种麻烦的说法，倒不如用下标这种说法，直接把它叫作‘an的n’更简洁，对吧？”
“为什么？”
4即自然语言，指的是一种自然地随文化演化而来的语言，如英语、汉语、日语。与自然语言对应的有世界语。世界语言属于人造语言，是一种为某些特定目的而创造的语言。——译者注
我们把求极限值叫作“求极限”。
“当然不会。”
0.999 ... 9 小于 1
继续这样下去。
“怎么了，尤里？”
“那个，打扰你们学习，不好意思……”
我来求一下这个式子的值。
问题 4-4
计算 0.999 ...。这里，我们把0.999 ... 定义如下。
也就是说，不管走到哪儿，0.999…都还是比 1 小啊！
“我感觉就像哥哥你画的那样，无限接近 1。可是，就算无限接近，0.999 ... 也不能变成 1 呀。”
0.999 ... 表示“某个数”。
“原来是这么一回事儿啊。”
n→ ∞ 时
“不能用箭头来表示‘无限接近’的感觉吗？”
盈盈是个美少女，有着一头波浪般的卷发，跟我和米尔嘉不在同一个班，但在同一个年级，都上高二。她还是钢琴爱好者协会“最强音”的会长。这位钢琴少女，除了上课以外基本上都泡在音乐教室里。听说她甚至获得了学校的批准，能够自由进出音乐教室。
“你不会在意吧？这点小事。”
“可是，那……不明白喵。”尤里一脸的不甘心。
“是啊。”我恍惚地随口答道。
分别计算等式的左右两边。
“这样啊……”泰朵拉应道。
“这是不行的。无穷大不是一个数，所以就不是无限接近‘某个数’了。所以我们不说‘极限值无穷大’，也不说‘收敛至正无穷大’。我们只说‘发散至正无穷大’。”
“这个嘛，稍等。尤里，这个问题呢？ —— 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，会无限接近某个数吗？”
“可是，下面这种写法对吗？”
“在这里，n表示的是这一串 9 的个数。这样一来，似乎就存在以下性质。就是这两个性质在打架吧？”
“因为我们定义的时候就定义了‘它能计算出来’啊。”我说。
问题 4-2（基本的极限）
“是
“然后，1 跟 0.9 很接近，但是偏差 0.1。”
“诶……那要怎么办？”
(2) 但是，不管n有多么大，an都小于 1。
“是这样，可是一扯到式子我就……”
(2) 但是，不管n有多么大，an都小于 1。
“换人。”米尔嘉的手滑过我的肩膀，回到了钢琴的旁边。
“就是如此。”
泰朵拉注视着我，接着说道：
“对啊。”
然后，思考如何用带n的式子来把上面这个式子表示出来。如果留着
“嗯，对呀。有哪里奇怪吗？”
“你之前没注意到吗？”说着，米尔嘉在笔记本上展开了式子。
然后盈盈停顿了一下，看着自己的掌心，若有所思。她又翻过手，看着自己的手背。格外纤长的手指 —— 果然是弹钢琴的手指啊。
这样一来，我们就会知道存在极限值，且这个极限值为 0。
“是么……”米尔嘉回应道。
“(1) 和 (2) 都是对的。”
“……我明白了，是不一样。我看漏了
1 - 0.99 = 0.01
“然后嘛，人家就回答说：‘这等式怎么可能对呀’。”
去参加舞会吧，灰姑娘。
但是别忘了 :
只要半夜 12 点一过，
马车就会变回南瓜，车夫就会变回老鼠。
而你，就会变回那个蓬头垢面的灰姑娘。
——《灰姑娘》
盈盈跟米尔嘉一边说着话一边走到了我们这边。盈盈的表情有些纠结。
“他说了为什么对吗？”
“an呀。”尤里点点头。
“项偏移，就是每一个项里的 10 的指数都增加 1，对吧？”
“原来你是这个意思啊。不过，‘
“接下来，只要考虑‘当n→ ∞ 的时候，这个式子的右边会怎么样’就行了。”
这样，右边的 0.000 ... 就等于 0 了。
当持续增大n的时候，
“嗯。”
“音乐跟数学完全是两码事，但又有着相似之处。”我说道，“演奏者奏出了声音，我们就要好好听。数学家写出了式子，我们就要好好看。就是这样。”
要想计算这个式子，我们得把精力放在求和上。
重复以上步骤，就会出现下面这样的算式。
“0.999 ... 原来是能计算出来的呀……”
“嗯。回答正确。”我点点头，“下面重点来喽。0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，无限接近‘某个数’的时候，这‘某个数’啊，有以下书写形式。”
“我明白了，改变‘等号’的定义！数学家还真喜欢定义呀，我们定义‘在差很小的时候用等号’吧！”
“数列
“不行啦，我妈在等着呢。再说了，你不冷吗？”
我妈转过身，盯着我，然后突然换了张温柔的脸。
“对对。像 0.999 ... 这样，在数的最后加上省略号的，是数列去向的目的地；像 0.999 ... 9 这样，在中间加上省略号，最后又写上一个 9 的，是数列中出现的数。天差地别呀。”
“首先，你来讲讲你的那个‘证明’。”我翻开了笔记本。
“否。无论 0.9 的后面有多少个 9，都应该会小于 1。”
“接下来计算这个结果。”
“尤里，那我现在问你个问题，你用‘是’或‘否’来回答。 —— 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，其中会有数等于 1 吗？”
“嗯……”
“混乱？”
“嗯？什么啊？”
0.99 < 1
“啊～真是的！我不甘心不甘心不甘心啦！”
“啊！原来如此。除了开头跟结尾，其他的都抵消掉了。”
“是啊。”
“人家也去！”
“哥哥，人家明白啦。我也很明白自己不明白哪里了。人家啊，才意识到 0.999 ... 表示‘某个数’。”说着她舔了一口冰激凌，冰激凌已经开始流到甜筒上了。
“哎呀，我怎么都说出来了，羞死了，羞死了！”她看似害羞地一把拢起了长发。
0.999 ... 所表示的“某个数”就等于 1。
这样，就证明了 0.999 ... = 1。
这是啥来着？
1 等于 1。
回过神来，泰朵拉已经落在我后面老远。她一个人停了下来。
“嗯。很好，很好。”
“虽然接近，可是即使 0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，‘某个数’也是出不来的。这点也对吧？”
像下面这样写会让我们容易明白一些。
“那我们来好好讲讲极限吧。”
“啊，所以……”泰朵拉说道，“才在思考极限的时候，用 lim 这样的式子，而不用‘无限接近’这个词，对吧？”
“我呀，我打算……从事能应用英语的工作。不过，最近我们在学计算机，计算机方面的工作好像也很有意思。我要是能像盈盈那样，能说自己正在为了无限接近目标而学习，那就好了……”
“他肯定是想待在喜欢的女生身边吧。”泰朵拉露出不同于以往的笑容说道。
“这样啊……”泰朵拉说着又捏了一把自己的脸颊，“话说，数列不总是收敛的吧？”
“0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，就会无限接近 0.999 ... 所表示的‘某个数’吧？”
“这个……越来越大了呢。”泰朵拉一下子把手举得高高地说道。
我盯着泰朵拉。
“喔……右手难唱原来是因为这个吗……”
无限循环以上步骤后，0.999 ... 跟 1 的偏差就是 0.000 ... 了。
10, 100, 1000, 10000, ...
“不要依赖语言——”
“……”她不回答，眼睛看着地面。我看不到她的表情。
1即第 2 章中泰朵拉说的 Q.E.D.，意思是证明完毕或证讫。—— 译者注
“怎么了？”
0.999 ... = 1 的证明
“哦哦，这个呀。我刚刚没解释清楚。∞ 确实不是数。在这里，我们是像下面这样来展开并定义等号的，泰朵拉。”
“这个嘛，写数列的时候，都是像 0.9, 0.99, 0.999, ... 这样，在最后加上省略号‘...’。所以我会认为在 0.9, 0.99, 0.999 的后面肯定会出现‘0.999 ...’。可是，不是这样的。0.9, 0.99, 0.999 的后面不会出现 0.999 ...。都是因为写成 0.999 ... 才会分不清！真是的！写个
“好，好，知道啦。我去超市就是啦。”
我跟泰朵拉继续解释。
n→ ∞ 时
如果换成泰朵拉，那她最后应该会说“英语属于我”吧。——这么说来，尤里说过想当律师。虽然不知道她有几分是认真的，不过这行没准还挺适合她呢。
“没错。”
0.999 ... = 1
“才……这，这个嘛，或许有。因为很帅气喵。可是，那个，哥哥你会不会在意妻子的收入比你高？”
“不去听声音？这就像想学数学却不看式子吧？”我联想道。
“lim 好难啊。”泰朵拉说。
我忽然注意到了脚边的白袋子。
是我妈的喊声。
“嗯。对对，是差。原来如此，用等式来写就好了啊！我是照这个思路思考的，一开始是 0.9。”
“我觉得，作为初中生来说，他已经答得不错了啊。”我表示。
3此处指升 Do，即 Do, Re, Mi, Fa, So 的 Do。——译者注
没错。哥哥，你听我说啊。
问题 4-3（基本的极限）
“看来你完全理解了啊，尤里。”
719 世纪德国数学家，曾受聘于柏林大学，被誉为“现代分析之父”。——译者注
“我们想计算的是……”我对泰朵拉说道，“下面这个式子。
“不过，为了更进一步讨论，我们还需要精确定义 lim 本身。”米尔嘉在我们身边踱着步说道，“当然，不能用‘无限接近’这个词。”
尤里笑容满面。
“啊～真是的，感觉好烦躁啊！明明无论 0.9 的后面有多少个 9，都不等于 1。为什么 0.999 ... 会等于 1 呢？！”
“学长……”泰朵拉抬起头，面色绯红，“谢谢你。是呢……如果我有不明白的，那我就不客气，直接问你。可是，如果烦到你的话，请你一定要说哦。”
n→ ∞ 时
她的语气异于往常。我们一时语塞。
举个例子，an无限接近“某个数”（我们把这个数叫作 A）时，我们就说，“极限值等于 A”，可以用式子写成下面这样。
“因为高考很重要。”
“话说，哥哥你将来要做什么？”
“下一道题。”
“啊，对。在思考数学的时候，我也希望自己能‘导入新的字母’，就像这个n。可是，脑子不往那边转 —— 我感觉字母多了，就会变复杂。”
“嗯，就是这样。”
“用式子，来定义 lim……”泰朵拉小声念着。
泰朵拉盯着我写的数学公式。
盈盈和米尔嘉交替弹着钢琴，每弹完一曲，就对曲子进行评价。刚才，盈盈说想分别弹出“机械的巴赫 2”跟“空中的巴赫”，米尔嘉则说想弹出“正式的巴赫”跟“超群的巴赫”的区别。真复杂，不明白她们在说什么。
“休息？”我问。
“啊，对呀。能写。”
“那我来求一下这个式子的值。”我拿过自动铅笔。
“啊……那个，就是只差 0.1。”
这样一来，嗯……Quod Erat Demonstrandum 1。证明完毕。
“音乐 —— 属于我。能把我这胸口撕裂，并暴露出我正在激烈蠢动着的内心的，只有音乐。我是这么想的。我为了音乐呼吸，为了音乐进食。”
“因为是 0.999 ... 呀，刚好比 1 小不是吗？”
这道题是求
“不过，在an收敛的时候，
◎ ◎ ◎
“尤里，听好了……”我注视着她。
0.9, 0.99, 0.999 这样一直延伸下去，就会无限接近“某个数”。
“是这样。”米尔嘉微笑道。
因为偏差是 0，所以最后 0.999 ... 等于 1 ！
然后是 0.99。
“刚才是谁强调说‘不认真看式子，就是不去看数学家创造出来的世界’来着？”米尔嘉问道。
“要依赖式子。”
“证明完毕。”尤里说。
“当今时代，能。”米尔嘉竖起食指，“人类是近些年才将极限掌握到如此程度的。柯西 6将极限概念导入数学，是在进入 19 世纪后；魏尔斯特拉斯 7用式子来定义极限，则是在 19 世纪后半期。”
嗯 ……鸡蛋，鸡蛋。6 颗装的应该够了吧？
米尔嘉“砰”地敲了一下她的头。
“喂喂，你在学校跟男生吵架了？”
一开始是 0.9。
0.999 ...
“lim 来自于 Limit，也就是极限。”米尔嘉说。
“喔。”
米尔嘉和盈盈还要继续练习，所以我就跟泰朵拉两个人去车站了。她在我身后走着，距离我半步。不知从何处飘来了梅花的香气。
“你告诉泰朵拉基本的极限了吗？”米尔嘉问我。
“嗯，可以。”我点头。
“在这里，0.9, 0.99, 0.999 这个数列无限接近 1。然后，无限接近的地方，也就是目的地，为 0.999 ...。”
“是啊。”
“我们还在学习呢……”
解答 4-2（基本的极限）
因为当n→ ∞ 时，
。因此答案如下：
“语言……？”盈盈问道。
“……”她还低着头。
“当然可以。”
0.999 ... < 1 ？
“……你这人虽然钝，人倒是不错。”
“啊，就是 Natural Language 4。”
“好开心喵。”她用猫语笑着回应我，然后又马上恢复了认真的表情，“可是，人家不喜欢‘你一个初中生’这个前提。”
“他一脸得意地说‘这个等式是对的’。啊～好不甘心啊！”
“这样啊。那个，其实人家不太明白‘无限循环’那部分。人家还是觉得‘0.000 ... 比 0 要大一点’。这样的话，‘0.999 ... 就比 1 小一点’了。”
“嗯，这样就准备 OK 了，泰朵拉。接下来我们要用到常用的‘等式变形’。我们在等式两边同时乘以
1 - 0.9 = 0.1
“总之……”盈盈说，“我创作音乐，创造音乐。我不确定未来能不能以音乐为生，但是，肯定会跟音乐有关，一定会……”
“那你就跟我说说你想出来的‘证明’，还有心中的‘疑惑’吧。我们一起来思考，好吧？”
“……是吧。”泰朵拉说道。
“嗯……”她也注视着我。
“嗯。这就对了，你怎么突然明白了啊？”
“啊！没错！”泰朵拉也发话了，“不认真看式子，就是不去看数学家创造出来的世界。不好好看式子，而被自然语言拖了后腿的话，就不是在研究数学了。是这个意思吧？”
619 世纪法国数学家、物理学家、天文学家。由于在数学分析学领域有诸多贡献而被称为“法国高斯”。——译者注
1 = 1
“真会哄人。话说，你心情好了？”
“不要依赖感觉 —— ”米尔嘉看着我说。
“我这人，什么都不行啊。”泰朵拉仍旧看着地面说道，“米尔嘉能谈论很高深的数学，盈盈能创作出很棒的音乐，可是我……我什么都不会。对我而言，因为学长你，数学才变得有意思了。可是，我净问问题来浪费学长你宝贵的时间。我什么……什么都为你做不了。”
“嗯……这样呀。”
“人家可能会证错，别笑人家哦。”
“嗯。不过严格来说，还有地方不对劲。”
“嘿嘿，谢谢哥嘎！”
“你的意思是，它们的差是 0.1 ？”我往笔记本上写了个等式。
“呀！啊！”
“昨天，人家输给了一个讨厌的男生。烦死了！讨厌讨厌讨厌！”
“米尔嘉，你是按照这个思路来出题的呀……”我说道。
“那个，学长你……将来有什么目标？”
尤里“呼 ——”地叹了口气，看向我，仿佛在问“那正确答案是什么呢？”
“怎么了？”
米尔嘉将来会干什么呢？会当数学家吗？话说回来，感觉那个才女哪行都能干……
“#C 3不行啦！”盈盈喊道。
“它俩都是对的。下面这两个说法，都是对的。”
“嗯，可以呀。有什么不对吗？”
也就是说，是下面这样。”
解答 4-3（基本的极限）
“这，这个，好混乱啊！”
解答 4-1
下面的等式是对的。
0.999 ... = 1
“啊，这个，嗯……”泰朵拉困惑地看着我。
“没错。哥哥，你听我说啊。”
“学长，这种写法很好懂啊。”她指着下面这个式子说道。
我把冰激凌换到左手，在特价广告单的背面画了张图。
“诶？”
“比如说，这种题。”她往我笔记本上写了个式子。
光看分母的话，很简单吧？分母是这么一个数列。
如果持续增大n，分数
“自然语言？”我不解。
(1)n越大，an就越接近 1。
“没错。”我说，“换句话说，答案是这样。
“我……”她用微弱的、模糊的声音说道，“我这人，什么都不行呢。”
“忘了就算了。”
我跟尤里赶紧跑去厨房。
我震惊了。
也就是说，我们只要回答下面这个问题即可：当持续增大n时，是否存在无限接近
“是么？话说，那个男生怎么说的？”
1 - 0.999 ... = 0.000 ...
“音乐是凭声音的。”她看着自己的手说道，语气中透出少有的认真。“总之最后是‘声音’。如果能用语言表现世界，那用语言就可以了。不过，有些世界只能用声音来表现。”
尤里咔吧咔吧地连冰激凌带甜筒一起嚼。
她的发丝如黄金般闪烁了一下。
对了，我们有时也不用 lim，比如像下面这么写。
“回答正确。”我说。
“嗯……当律师吧。”
泰朵拉平常总是慌里慌张的，可是一提到尤里，不知怎么地，就会稍稍沉着一些。
现在是盈盈正在弹钢琴。米尔嘉抱着手臂站在她身后。有一瞬间，她朝我这边看了一眼，可是马上又把视线收了回去，看盈盈弹奏了。
“没有鸡蛋了，昨天晚上给用了！”
“诶？这个……话说回来，尤里你呢？”
“你说的‘偏差’指的是？”
(1)n越大，an就越接近 1。
“嗯，没错。比如，我们思考一下这样的数列。”
“是吗？”米尔嘉歪了歪头。
这里是音乐教室。现在已经放学了，米尔嘉和盈盈正在弹钢琴。我跟泰朵拉在教室的角落里小声聊着天。
“可是，尤里你已经不会弄错了吧？”
“也就是说，0.999 ... 等于 1。”米尔嘉说道。
“感觉今天聊了好多啊。”
尤里摇晃着头，把马尾辫甩来甩去。
“不要这样嘛……”尤里绕到我前面，像祈祷似地双手合十，眼睛朝上望着我。为什么大家拜托我办事的时候都同一个动作啊……唉，算了。
关于“0.999 ... = 1 不成立”的疑惑
“做完了？”不知何时，米尔嘉站在了我们身后，手里拿着乐谱，“那我们来算 0.999 ... 吧。”
“要依赖逻辑。”我接道。
“怎么了？”我赶紧折回去。
问题 4-1
下面的等式对吗？
0.999 ... = 1
“哥哥，这个得想好久才能明白啊。就算老师讲了，我也一定会理解错。0.999 ... 指的不是数列里出现的数，指的是数列去向的目的地，可以不用到达那里。我很明白哥哥说的是什么啦。确实，0.999 ... 跟 1 是分毫不差、精确相等的。因为它是 0.9, 0.99, 0.999 接近的目的地嘛。”
“书写形式？慢着，等一下！”尤里喊道。
“你们聊什么呢？”米尔嘉反问我。
这时，盈盈回来了。
“嗯……其实说真的，人家回家以后也想到了一个‘证明’。可是，0.999 ... = 1 是错的呀。因为等号‘=’是在分毫不差、精确相等时使用的符号啊。数学的魅力不就在于这种精确性吗？所以，我有‘疑惑’，这里就应该像 0.999 ... < 1 这样用不等号，而不是等号……”
“当n→ ∞ 的时候，这个式子的……”泰朵拉嘀咕道，“
“诶……这跟刚才的不一样吗？”泰朵拉问道。
“没错。这里我们从‘表示通项的等式’两边分别减去‘项偏移后的等式’。这样一来，中间的项就会相互抵消，‘唰’地一下消失。”
“……话说刚刚那道题，画成图就是这样。”
“不，不成立。0.999 ... < 1 是错误的，0.999 ... = 1 才正确。”
假设把n持续增大，an就会无限接近“某个数”。此时，我们将这里的“某个数”称为极限值，写成下面这样。
“嗯嗯，我知道谁是犯人了，哥哥。犯人就是‘0.999 ...’这个写法！这让人分不清楚嘛！”
“咦？这么说的话……这两个就完全不一样了呢。”
“要想解释清楚，就得用数学方式把‘无限循环以上步骤’的部分说明白才行。”
“打扰一下。”盈盈突然探出身子插了句嘴，“数学中之所以会用到式子，是因为式子是最好的表现手法。”
“有时候，有些人会说‘我不懂音乐’。这些人用一句‘不懂’就打发了所有无法用语言充分表达的事物，而不去直接品味音乐。就算不能用语言表现也无所谓。正是因为不能付诸言语，才凭声音来表现。想用言语形容的人不去听声音，光是一个劲儿寻找辞藻，而不去听演奏者奏出的关键的声音，不品味声音响起的时间以及声音飘荡的空间。不要寻找辞藻了！去聆听声音！……就是这么回事。”
我让尤里坐在自行车后座上，载着她一起到了超市。外面真冷。
◎ ◎ ◎
尤里刚刚嘴角还拉成倒 V 字形，听到我这句话，表情一下子明朗了起来。
“哦哦，这就是你的‘疑惑’啊。”
泰朵拉说着拿起自动铅笔，就像试笔时一样在自己的笔记本上写了写字母表。
我把我跟尤里的对话告诉了泰朵拉。
“对对，就是这两个性质。因为它们看起来都对，所以人家才烦恼的。到底哪个是错的呢？”
“所以嘛，哥哥，0.9, 0.99, 0.999 这个往下延伸的数列虽然不会变成 1，但是会无限接近 1。这点我倒也不是不那么不懂。”
0.9 < 1
将等式两边同时除以 3。左边写成小数形式，右边写成分数形式。
“是。如果在 0.9 的后面不断地添加 9，就会接近 1，会无限接近。”
“诶？可是，要是 (2) 是对的，0.999 ... < 1 就成立了啊。”
“是啊。人们在讲极限的时候经常这么用。”
“完蛋了！我妈还在等着呢！”
“泰朵拉……你错了。我因为你，才有了毅力。分类讨论的时候，举例的时候，我都会想起你。这种对一件事坚持到底的努力精神，我是从你身上学到的。”
“啊，就是最重要的‘表现形式’（Representation）。”泰朵拉回答。
这时，盈盈两手“啪”地拍了一下。
0.999 ... < 1 错误
“呐，哥哥……那边有好东西。”
“嗯……这样的话，怎么说呢，就好比
