“这么回事。”我画了张图，把各个点标注了出来。
“θ是一个希腊字母。不过，现在我们只要把它当成一个表示角度的字母就行了。表示角度的时候经常会用到它。”
“嗯嗯……啊，y要比
“y会在 0 跟 1 之间移动……啊，不对！还有负数呢！”
“嗯。教别人也能提升自己呢。”
“……嗯，是啊。”我表示同意。
如果你也想成为数学家，
那你就必须有这样的觉悟：着重为了未来而工作。
——《关于数学的三次对话》[5]
一旦毕了业，我们就该各奔东西了。
“就是这样。”我说道。
-1 ≤ sinθ≤ 1
“喔喔，原来如此。”
“诶？这就是 sin、cos 的 sin ？”
“知道了，你说它叫西塔，那就叫西塔吧。”
我们默默地走下灯塔，沿着漫长的沙滩并肩走着。
“那 cos 是什么呢？”
“是我不好，没经你同意就去游乐场玩儿，对不起。”
“……我都不知道。”我过了一会儿才开口道。
“是呢。点P在x轴上嘛。”
“……谁建议你的？”
米尔嘉要留学？也难怪。以她的能力，美国只是小意思，她应该在更广阔的世界学习更丰富的知识。她有这份实力。
轻轻舔了一下我的脸。
“我们能知道精确的值么？”尤里问道。
“中心角在圆上形成的圆弧的长度。这个圆弧的长度与半径的比所表示的角度就是弧度。比如说在半径为r的圆上，60°形成的圆弧计算如下。
“……不相信你。”尤里拿怀疑的眼光瞪着我。
我想了想。
“你个笨蛋，‘不甘心’能改变什么？‘真丢脸’又能改变什么？就算你难受消沉，世界也不会因为你而有一丝改变。”
米尔嘉的语气忽然轻柔了许多。
我妈这句话让尤里一下挺直了身子。
“我说的这点很重要啊。——然后，我们就能马上得出 sin 30°的值了。”
“……”
“我们聊弧度来着。”
“最近啊，我朋友总问我数学……”她说道。
“笨蛋！”
我深深叹了口气，转头看向她。
可是，如果今后我更深入地研究数学，教人会不会变得非常难呢？随着不断接近数学的本质，刚从山里挖出的原石、刚从海中捞上来的贝壳或是刚摘下来的果实……这样的东西不就会越来越多吗？虽然我不知道它们真正的价值，但它们是那么美丽，那么充满生机。我能把这些教给别人吗？
60°等于
尤里抬起头。图上多画了两个点 ——A跟Q。
转了θmod 2π 弧度
我无视了她语气中的困惑。
我一直都这么孩子气。
“反正……你肯定又在想‘真不甘心’‘真丢脸’吧？”
“天台。”
“对，这就是y！你的答案是？”
我们穿过小路，纯白的灯塔映在碧蓝的天空上。
“哦哦……原来这么简单呀。”
“这是正三角形，对吧？”
“有些地方的确是理解了，但是说不上‘完全理解’……”
“原来如此喵！正弦曲线……我好像明白一点了。”
“话说回来，之前在游乐场，米尔嘉她……”
“再精确点的值就是
“对啊。”
我跟尤里之间的这种毫无成果的交流持续了约 20 分钟。
“是这样。”
“真的真的。她肯定是跟我们讲哥德尔不完备定理。”
可以看到那很遥远很遥远的远方的海平面。
高中毕业以后，米尔嘉要去留学。
“好，好。”
“可是，我也教不了一群人啊。泰朵拉你在听我讲的时候，会经常问一些问题，比如‘这里我不明白’。你问的问题可帮了我大忙呢。没有这些问题，我就得一边想着‘她明白了没有啊’一边往下讲。”
到了车站，我们乘上电车，并排坐下。
“等我一下啊。”
“为了画正弦曲线。我们列个θ跟 sinθ（即y）的关系表吧。”
“你不说我哪知道啊。”
“你在说什么？”
这……让我很不甘心，很丢脸。
泰朵拉拨弄着用手帕打出来的结，开口说道：
“嗯，我也觉得很高兴啊。”
“正弦曲线出来了……咦？不好意思哥哥，我不明白。虽说刚才我们画的单位圆跟这个正弦曲线形状不一样，不过我想问一下，它们是同一个图吗？”
我想过高中毕业以后，跟米尔嘉去同一所大学吗？
我刚在车站的月台上站定，就闻到了大海的气息。
我为什么非得道歉啊。
“有人建议我高中毕业以后，去美国的大学留学。”
这是一个循环。
唉……真是让人哭笑不得，女生还真麻烦啊。
“……”
“为了什么啊？”
“有人建议我去留学。”米尔嘉重复道。
“很多很多事都……对不起，我这么不振作，对不起。”
“对对。”尤里说道，“所以，嗯……如果从上面的顶点P笔直地向下引一条直线，就能构成直角三角形 △POQ。然后，因为边
我一头雾水地被她拉着出了学校。
“呃……我不是那么算的。”尤里说道，“如果正方形的边长为 1，对角线不就是
正弦曲线
“嗯嗯。”
“这个时候，点P在圆的最上方，是吧？”
“啊，对了，”我想起一件好事儿，“米尔嘉正在考虑春假的活动呢。还记得不，说是要讲我们以前说过的那个‘哥德尔不完备定理’。她让我也把你叫上。”
“嗯……怎么说呢，要是我能‘唰唰’地理解，就会想‘我明白啦，往下讲吧’；要是我不能‘唰唰’地理解，就会想‘麻烦死了，别再讲啦’。可是，哥哥你不一样，你一直不慌不忙的。”
“那就好。”我点点头。
“说得简单点哈。”
“我要研究数学。在那边上大学会很忙，但是应该能尽情研究数学。今年我去了很多次美国，还参观了双仓博士的研究所。”
“比感觉自己明白了强得多。也就是说，懂得‘这本数学书上写的内容可能是这个意思，不过实际上，我自己可能并没有搞明白’就行。”
我偷偷瞟了一眼米尔嘉，她正在透过车窗望着窗外。
“我们看θ这个角的时候，实际上看到的是商集的一个元素，也就是属于 {2π ×n+θ|n为整数 } 的无数个角的重合。”
我们从正面进了灯塔。螺旋楼梯坡度很陡，一直延伸到了塔顶。
星期六。
“噢……”
这……我……我在干什么？
“诶？你以为我们是为了什么才计算 sinθ的？”
“没必要着急呀。因为数学是经过成百上千年才发展到现在这个样子的。各个时代最杰出的人物绞尽了脑汁呢……在现在的数学书上写着的符号、式子和思路产生之前，数学家们应该是在一条我们无法想象的漫长道路上煎熬着。所以，我们一下子看不明白也不要紧。倒不如说，不明白可能更好。”
“消个毒吧。”她一下子把脸靠了过来 ——
“嗯，很好。这样我们就知道θ分别为 0°, 30°, 45°, 60°, 90°时的 sinθ的值了。当角度超过 90°时，我们就要利用 对称性。”
“单位圆。”尤里复述道。
“喂喂，话说，还不讲正弦曲线呀？”
尤里认真地盯着图看。
“就是这么简单啊。”
y= sinθ
“在谈 cos 之前，我们来研究一下 sin 的具体值。比方说，当θ为 0°的时候，sinθ是多少？”
天呐！
“……”她瞟了我一眼。
“因为圆是左右对称的，所以 sin 120°等于 sin 60°。看了下面这张图，你肯定就会明白意思了。”
来来去去，反反复复 —— 一浪又一浪。
“比如说呢？”
“我……我就是个小孩，一个总在同一个地方来回转圈的小孩。”
“噢。”我说道。
sin 90° = 1
“喵来如此。原来我们能自己计算出 sin 45°啊。”
我把装面包的袋子塞到口袋里，站起身伸了个懒腰。
我到底在说什么啊？
就这么你一句我一句地说着说着，尤里的话慢慢地变少了。我回到了自己屋里，她也默不作声地跟了进来。
“sin、cos…… 我对三角函数特别头疼。”泰朵拉说道。
“聊 360° = 2π 弧度之类的……”
“喔……”她盯着我的脸。
“是吗？我还以为你理解得很透彻呢。”
“因为把 1.4 平方，就是 1.42 =1.96。也就是说，1.42 约等于 2。”
“对。比如说，假设我们需要思考 360°是多少弧度。如果设圆的半径为r，那么与 360°对应的圆弧 —— 整个圆周 —— 的长度会是多少呢？”
“喔……”
米尔嘉注视着脚边的沙子，而我注视着米尔嘉。
泰朵拉像转动仪表盘的指针似地，把筷子转了一圈。
尤里板着脸，一直不说话。
“我觉得学长你很会教人，很了不起。”
“θmod 2π 也聊了？”
“老师在课上的剩余时间里，讲了一点正弦曲线。不过我没听明白。”
对于这种来来往往没有上限的循环，我彻底认输了。真没办法呀。
“学长？”
“……那你知道 sin 45°是多少吗？”我问道。
“接下来你就自己研究看看吧。”“呵呵，哥哥你可真够意思。”
“……”
“有一点我很在意，就是在单位圆的图上能看得到x,y,θ，但是在正弦曲线的图上就只能看到θ跟y——算了，先不说这个。那个……哥哥。”
“……”我的胸口，渐渐冰冷。
“午休那会儿，你去哪里了？”米尔嘉擦拭着眼镜冲我问道。
“点P在圆周上运动的时候，角θ会随之变化，对吧？”
“对对。”
“……”
“sin 是θ和y的关系，对吧？ cos 就是θ和x的关系。”
“为什么？”
“嗯。那 2πr是半径r的多少倍呢？”
θmod 2π
“纸。”米尔嘉说道。
尤里神气十足地点点头。
“上次我们出去玩儿来着。”我说道。
只有微风轻轻吹拂而过。
“不是哦。你从刚才那张图里找找θ= 45°的情况看一下。”
“人家都说已经明白了啦！”
该关系满足自反律、对称律、传递律，也就是等价关系。我们用这个等价关系除以实数集
“没错。弧度是用‘圆弧的长度’去测量‘角度的大小’。但是，如果圆的半径变成原来的两倍，那么虽然角度不变，但是圆弧的长度却会变成原来的两倍。因此，我们才通过‘圆弧的长度是半径的多少倍’，换言之就是‘圆弧的长度与半径的比’来表示角度。”
“你不信我。”我察觉到自己这话有些欺负人。
“我明白了。
“消毒完毕 —— 有海水的味道。”
我妈一边倒着茶一边说道：
我妈感觉气氛很不妙，一下子躲回了厨房。
我必须彻底接受这个事实。
这个……归根结底，amodm这个式子本来指的就是“a除以m而得到的余数”。也就是“以m为模的余数”。例如，17 mod 3 ＝ 2。这是因为，17 除以 3 而得到的余数是 2。一般人们会把amodm中的a和m都视为整数。
“是没错啦。利用勾股定理……”
“泰朵拉是个好女孩儿，对吧？”
这是在当前这个时间点，我能做到的。首先，要从这一步开始。
“你看不到螺旋。”
1萩尾望都，生于 1949 年，日本漫画家，女子美术大学客座教授，代表作有《天使心》与《波族传奇》等。——译者注
“啊，抱歉，我有点走神。”
尤里往笔记本的一角凌乱地列着式子，计算着。
“双仓博士。美国数理研究所的所长，我的阿姨。”
“不是的。我只是……想告诉你。”
虽然她装出一副若无其事的样子，但我知道她在注意我这边。
“那个……哥哥，人家还明白了一件事。这件事跟数学无关，跟我自己有关。哥哥，我好像太着急往前赶了。比如刚刚，我听完了 sin 就马上想听 cos……我总是着急忙慌地想往前赶。”
“噢！噢噢！这是……”尤里探出身子。
“没错。”米尔嘉看向我这边说道，“例如，对于两个实数x,y，我们试着思考一下下面这种关系。
“噢，原来如此……”
尤里越来越不服输了啊。
“没错。”
“不不，就算是数学家也没人敢说‘完全理解’呀。”
“这边。”出了车站，她拐进了一条小道，头也不回。
“那边。”米尔嘉说道。
“弧度是角度的单位，对吧？ 90°等于弧
现在是午休时间。我跟泰朵拉在天台上吃着午饭，晴空万里。明天是结课典礼，后天就开始放春假了。
我又重新画了张图，将那些能马上求出 sin 值的点标注在了圆上。
“啊，我有点明白了。”泰朵拉说道。
“泰朵拉是个好女孩儿，对吧？”
“为什么不能用 360°呢？”
“那个……我……我……”
“什么都没跟你说，是因为我之前还没想好。”她说道。
“嗯……
“哥哥，我想让你教我 sin 和 cos 喵！”
“嗯，很好。因为
从灯塔上面看到的大海，竟有这么美啊。
“就是说持续燃烧下去的爱情，要比剧烈燃烧却立即消失的恋情更重要呗。”
“诶？”
“这个当然啦。因为点P的y坐标是P的高度嘛。”
“诶？”我把歪了的眼镜重新戴好。
“哦哦。”
“那你知道 sin 60°是多少吗？”我问道。
“西塔？”
反过来，弱小的我又该如何？对于我来说无可替代的女生想展翅飞翔，而我只能说些风凉话……我真孩子气。
“就是重复同一件事情。”
“到了。下车吧。”
“那个，那个，那个……学长还要再跟我一起吃午饭哦。”
“是吗，那很好啊。”
“嗯……是对角线的长度为 1 的正方形的……边长？”
春天的海。
“你要去，对吧？”
“尤里你把看图的基本方法给忘了么？看图的时候要注意数轴。刚刚我们画单位圆的时候，横轴是x，纵轴是y，因此这个单位圆表示的是x跟y的关系。在我们刚刚画的正弦曲线里，横轴是θ。正弦曲线表示的是θ跟y的关系，也就是说，是下面这样。”
“没错。因为当θ等于 0°时，y等于 0。”
米尔嘉沿着楼梯一步步向上爬，我也只好跟着她爬上去。
我差点跌倒。这一瞬间过后，我意识到这份冲击是疼痛。
“你已经……决定了？”
“啊，我懂了。”我说道，“假设一点在圆周上不停转动……嗯，当只转了θ弧度时，这一点的位置和转了θmod 2π 弧度的点位置相同，对吧？”
“然后，sin 360°就会回到 0。你看出正弦曲线了没？”
“根据‘圆弧的长度是半径的多少倍’去思考弧度，就会很简单。”
“不不，用计算来求。你想象一下正方形的对角线就行了。”
“嗯？”米尔嘉转向我这边。海风掀起她的长发。
可是，我听到了这些，又该说什么才好呢？
我画了一个以原点为中心的单位圆。
“人家已经明白了啦。”
“这个……就是求下面这个y呗。”
她突然换成了撒娇般的猫语。
“哦……”
“那个……我很庆幸自己能来这所高中上学。”
“因为是用 2πr除以r，所以得 2π 倍 ——啊！所以是 2π弧度？”
xmod 2π =ymod 2π
“……”米尔嘉抬起头。
“我会努力不让自己消沉的。”
“嗯嗯。”
明明都没跟她聊过以后的打算……
“红了。”她指着我的左脸。
“超过 180°以后，加个负号就行了。”
尤里沉默着，用双手来回摇晃着我的椅子。
“要用类似量角器的工具吗？”
“……”
米尔嘉突然站了起来。
“什么事情？”
涌来，又远去的 —— 海浪。
“没错。△POA是正三角形。因为边
“那就是说，我已经……已经不能继续待在你身边了？”
“对。”米尔嘉点点头。
“y等于 sinθ。根据角θ来确定y？”
“喔……”她重新戴好眼镜，看着我的眼睛。
尤里慢慢摘下眼镜，把眼镜腿叠好。
我们打开白色的门，走到外面。宽阔的海洋顿时占据了我们的整个视野。
“我用单位圆来讲吧。单位圆就是半径为 1 的圆。”
“自己学习跟教别人，看起来很像，实际上却天差地别。”泰朵拉说道，“老师们真不容易呀……原来我还很不满，觉得‘这是什么啊，能不能讲明白点呀’，现在才知道教人原来这么不容易呀，更何况还是教一群人。”
“……”
电车沐浴在温暖明媚的日光下，缓缓前行。这是要去哪儿呢？
“就算你难受消沉，世界也不会因为你而有一丝改变。”
“别迷恋消沉的自己了！”
“喔，挺好的嘛。”
然后又回到了“循环”的状态。
“没错。sin 270°是 -1，sin 90°是 1。”
她用指头挠了挠鼻尖，自言自语说了句“不对……”。
“相应地，点P的y坐标也会发生变化。”
“喔喔。”尤里点点头。
“那个……米尔嘉。”
“你都没跟我说！米尔嘉大人跟哥哥，两个人去的？”
“我……”
y= sinθ和x= cosθ的关系
“了解。”
我跟尤里在我家餐桌前吃着咸仙贝。
“怎么回事？”尤里问道。
米尔嘉怒气冲冲地抬着手。
“不明白也行吗？”
“有人建议我去留学。”米尔嘉说道。
“嗯……应该是 0 吧？”尤里想了想回答道。
“原来如此。”
“……就这样，我给尤里讲了正弦函数。”我说道。
脸上挨了米尔嘉的暴击，现在还在一阵阵作痛。
米尔嘉说着，温柔地微微笑了。
“对对。把这些点流畅地连接起来的话……”
我拿出笔记本，画了张图。
……不过，尤里，你在笔记本上计算的时候把式子写开一点，别写得那么挤，在本子角落里写得密密麻麻得可不行。”
“假设圆周上存在一点P，我们把下图里的这个角度称为θ，读作‘西塔’。”
“你就自己闹别扭去吧。”我转过身面向桌子。
米尔嘉走得很快，我跟在她身后。我们穿过大道，走过十字路口。在反常的时间走平常上学时走的路，感觉有些奇怪。
“可以倒是可以……你课上学到了？”
“诶？”
“……”
“这样一来，我们就能求出 sin 45°的值了，它约等于 0.7。”
“先不说这个，赶紧给人家讲 cos 嘛～”
不过，感觉堵在心里的东西消散了。
“没错。在这里，我们假设θ从 0°到 360°转了一圈，此时 sinθ，也就是y，会在什么范围内移动呢？你知道吗？”
“人家来连！”
“对对。你注意到什么没有？”
“喔喔。”尤里点点头。
“当点P在单位圆的圆周上运动时，y的值会随着θ的变化而发生什么样的变化呢？我们把这种‘表示θ与y的对应关系的函数’叫作 sin 函数。”
“诶？它是 sin 90°的一半，所以是
“泰朵拉是个好女孩儿，对吧？”米尔嘉说道。
一个游客也没有。
“原来如此。原来这种地方也有等价关系和商集呀。”
……
换言之，它们的关系就是‘以 2π 为模，x,y同余’。写成下面这样更容易理解一些吧。
“你是怎么算的？”
“那个……我很庆幸自己来了以后，马上就给学长你写了信。”
“你脑子很聪明。看看周围，用你那聪明的脑子好好想想。大家都喜欢你。泰朵拉、盈盈、尤里、你妈……你难受消沉了，大家都不会开心的。所以，别再消沉下去了！”
海水的味道很强烈。
“对。也就是说，sin 0° = 0。”
“比如说，在学三角函数之前学过的弧度……”
米尔嘉放下手。
“不过，我解释得不太顺，最后人家总会给我一句‘还是算了吧。’”
“你说……为什么不把人家也带上？”
“这不是停课……是逃课吧？”我说道。
实数除以实数而得到的余数……怎么思考才好呢？
不，不对。可是，原来如此啊……
“嗯，这样也可以的。对了，
“尤里你的话，应该能精确求出 sin 45°的！”
“不明白什么意思。对称性？”
“那下次我们一起去玩呗。”我说道。
我们，是通过螺旋来到这个世界的。
但是，我们原本，是属于地球的。
——萩尾望都 1《马赛克·螺旋》
“当θ等于 90°时，y等于 1。”
我一翻开笔记本，尤里就从胸前口袋里拿出眼镜戴上了。
“一圈用 360°可能是因为 360 的约数多。倒不是不能用……就是显得有些随便。因为 360 这个数是人为规定的。与其相比，用圆弧的长度与半径的比来表示角度就更为自然一些……不过这种表示方法也是人为规定的。”
尤里的语气里透出些许焦躁。她解开马尾辫，重新扎好头发。咦，尤里的头发还真是长啊。
哟，上套了。
转了无数圈后，我们到了塔顶。
“我跟泰朵拉吃午饭来着。”我迅速说道。
“因为是‘咻’地一下上去再‘咻’地一下下来，所以y的值在 1 跟 -1 之间。”
“所以，别消沉了……喂，别消沉了。”
“那个……我有一种‘实际上，我并没搞明白’的感觉。”
不过，她写的是θmod 2π。这指的是，θ除以 2π而得到的余数？
“唔……那我就看在米尔嘉大人的份上原谅你吧。”
“……”
“圆弧的长度是半径的多少倍？”
“怎么了？”
“决定了。”
标注出 (θ, sinθ) 的点
转了θ弧度
“诶？”我蹭了蹭脸，手上有淡淡的血迹。
因为是θ，所以是关于角度的？以 2π 为模的余数，是什么呢？
“嗯，能确定，能确定。”
“游乐场？米尔嘉大人？”尤里看看我，又看看我妈。
“啊，刚刚……”扇我巴掌的时候刮到了么。
“这个建议，双仓博士很久很久以前就提了，对吧？可是，直到今天为止，我一丁点儿都不知道。关于你今后的打算……”
可是……我开始独自思考。
“半径为r的圆周的长度是……嗯，是 2πr。”
米尔嘉说着，低下了头。
“不就是这个数吗？”尤里说道。
“着急忙慌？”
“别消沉了，别消沉了，别迷恋消沉的自己了！”
“是我的指甲挠的吧？”米尔嘉看着自己的指尖。
妈，你不要扔了个手雷就开溜啊……
“再精确点的值就是
“为什么啊？”
这时，我的左脸遭受到了巨大的冲击。
x≡y(mod 2π)
“如果θ的实际度数能确定，那么y的数值也就能确定。”
“有什么不满就说出来呗。”我说道。
“诶……”
“是这样的，对吧？我明白了。”
“还是哥哥你最好了！所以说，sin、cos ！”
“诶？为什么？啊！明白了，明白了！把正三角形放倒，用 90°- 60° = 30°不就行了嘛。哥哥，sin 30°的值是
海浪一刻不间断地发出细碎的光亮。
她说的话很狠，但说得没错。
泰朵拉吃完饭，拿粉色的手帕把便当盒包了起来。
然后，她字斟句酌地开口道：
我刚回到教室，就碰见米尔嘉站在教室门口。
“嗯……喔，这样啊。P的y坐标等于P'的y坐标……也就是说，sin 120°等于 sin 60°，对吧？原来如此。那剩下的不就都能求出来了吗？超过 180°的话，加上个负号就行了。”
“我……”
“你……能看到所有的维度么？”
“没错。如果θ能确定，那么点P的y坐标也就能确定。我们把这个y写成下面这样。”
“所以，
“放了学，我找喜欢数学的朋友问了，不过还是没明白。那家伙讲到最后总是发脾气，然后就不说了。人家说没明白，他却反过来怪人家……我们总是吵架。”
下午课的预备铃响了。
“我们下午停课。”
“……真的？”
“你只能看到在圆周上转动的点。”
海浪爬升处，留下了许许多多的海草。
我刚把笔记本跟自动铅笔准备好，她就立马写了一个式子。
