图5↓2.角、垂直与倾斜。
↓3.锐角、钝角与直角。
↓1.从外表上看，天空就是一个巨大的穹顶。白天，阳光灿烂，天空是蓝色的；到了晚上，天空就会变黑，有无数闪闪发光的星星。但科学告诉我们，这些表象都是假的：我们并没有被什么穹顶覆盖。无论是在我们的脚下还是头顶，是在左边还是右边，空间都无限辽阔，没有边界。天空中有无数颗巨大的星体，但由于我们认识有限，只能看到那些最耀眼的部分。随着视野的扩展，空间也会不断扩大，只有神祇才知道它的中心和边界，只有神祇的眼睛才能洞穿这一切。地球徜徉在无限之中，就像太阳光线照射下的一粒灰尘，在巨大的宇宙中显得微不足道。但是，为了洞悉宇宙的无限，为了把握天空中各星体之间的距离，知道它们究竟有多宏伟，我们需要几何学的帮助。我认为几何学是一门艰深的科学，而且不会引起年轻人浓厚的兴趣。但我向你们保证，你们不会被深奥的理论搞得筋疲力尽，通常这些理论已经超出了你们的学习能力。只要一些非常基础的理论解释就已经足够了。如果一些枯燥的几何学章节让你们气馁，那么你们要坚持住，要有勇气来应对它，因为这些问题是值得我们付出努力的，测量天空、探测宇宙，孩子们，你们觉得怎么样？这些是否值得引起你几分钟的关注呢？下面我开始讲课。
如果一个三角形的三边长度相等，如图15所示，那么该三角形就是等边三角形。并且，这个三角形的三个角都相等，它每个角的大小都是180度的三分之一，即60度。
↓1.对天空的测量与几何学。
图10
图13比如，在图7中，为了求得角BAC的大小，我们可以将量角器放在角上，使它的中心置于角的顶点A上，并使量角器的直径与角的一边AC重合。然后，我们读出角的另一边与量角器重合的部分，如图7中所示，它指在50度的刻度上。由此我们知道，角BAC是50度。直角的度数永远都是90度，即圆周度数的四分之一。锐角永远小于90度，而钝角永远大于90度。
↓3.如图3所示，假设直线DC与另一直线相交。由此构成了两个角：一个小角BAC，一个大角DAB。小一点的角叫做锐角，而大一点的角叫做钝角。
图1
图3
图8↓8.在所有的三角形类型中，我们考察下述三种三角形。
图15我们将整个圆周分成360等份，每份叫做1度；每度再分成60等份，每份叫做1分；每分再分成60等份，每份叫做1秒。因此可以称一个圆周角有360度、21600分、1296000秒。
对于天文观测者来说，他们使用的是非常大的铜制量角器。它的下面有一个三角支架作支撑，我们将这种量角器称作经纬仪，如图8所示。在这种经纬仪上，我们可以读出角的分值，甚至可以读出秒值，只要这个标有刻度的半圆面积足够大。经纬仪上配有两个望远镜：一个是固定的，它的观察方向是沿着经纬仪直径来看的；另一个望远镜则可以绕着仪器中心上的轴来转动。我们要测量太空中一个角的大小，先要将经纬仪置于角的顶点，然后将固定的望远镜调整到其中一条边的方向，最后，我们根据角另一边的位置来转动可活动的望远镜。这时只要读出夹在两个望远镜之间的在经纬仪边缘上的刻度数就可以了。
↓6.由多条直线组成、并且每两条直线都相互交叉，这样构成的图形即是多边形。如果多边形仅由三条直线构成，那它就是三角形；如果它由四条、五条、六条或更多条直线构成，那它则相应地就是四边形、五边形、六边形等等。多边形可以具有无数种不同的形状：它可以由任意数量的边构成，可大可小，在外形上可以是很不规则的，也可以是非常规则的。不过，尽管它可以千变万化，但在几何图形上的特征却是永远不会变的，我们在下文中将会阐明这一点。
↓5.量角器是一个半圆形的透明角质仪器，上面标有一系列刻度。在量角器的底端刻有直径。从直径的一端开始，刻度从0依次排列到180，总共是整圆的一半，即360度的一半。量角器用来测量平面纸上角的大小。
图12中有一个三角形ABC。我们要证明的是，角1、2、3之和是180度。同样，我们延伸三角形的各边，形成外角4、5、6，如图13所示。那么，很明显角1和角4之和是180度。我们用量角器来测量，使它的直径一边与直线BAD重合、并使它的顶点置于A上，那么角1和角4就涵括了量角器所构成的整个半圆。图上所画出的半圆说明了这一点。以此类推：角3和角5、角2和角6，它们两两之和都是180度。那么角1、2、3、4、5、6之和应该是180度的3倍。减去外角4、5、6之和，即360度，我们得出，三角形的角1、2、3之和应该是180度。因此，如上文所述，在三角形中，三角之和是180度。
图4
图7（以上条目中的阿拉伯数字指的是涉及这些范畴的段落数，在正文中已经标明。）
图17这就是多边形的一个奇特属性，我希望你们亲自验证这一结论。可以在纸上画出不同的多边形，将多边形的外角剪下来，然后以一个点为公共点重新合并在一起。我们稍微思索一下也可以得到这样一个结论。请重新观察图10，在图中，多边形的外角1、2、3、4、5，它们都朝向我们所画的图形所在平面的一个特殊区域，从整体上这些外角包含了经过这一平面的所有的方向。因此，如果我们以一个点为公共点将它们合并到一起，那么它也就包含了所有可能的方向，由此可以构成一个完整的圆。
如果你们理解我的证明有些困难，那么我们来做如下实验。在纸上画出任一三角形ABC，如图14所示。我们用一个量角器来测量这个三角形的每个角大小，量得角A是50度、角B是100度、角C是30度。我们将角的大小50、100和30相加，得出它们的和是180度。由此反复实验，我们总能得出三角形之和是180度，没有例外。只要有一个普通的角质量角器就可以完成这一实验，这并不困难。
图9
图12在图3中，很明显，BA倾斜于DC。我们可以改变斜线的倾斜度，由此使锐角和钝角的大小发生变化。所以，存在着很多锐角，它们大小不一，同样也有很多大小不等的钝角。不过，对于直角来说角的大小是一定的，因为使直线AB既不偏向于DC一边、又不偏向于另一边，这样的地方只有一个。由此，直角的大小是不变的；锐角大小是有变化的，但它永远小于直角；钝角大小同样也会变，但它永远大于直角。
对于一个三角形，如果它只有两条边长度相等，那么该三角形是等腰三角形，如图16所示。这时，那相等的两条边分别对应的两个角的大小相等。
图6我们在纸上即兴画出任意一个多边形，比如多边形ABCDH，如图9所示。假设我们按同一个方向旋转、依次来延伸这个多边形的每条边，如图10所示。由此我们得到了一组角，即角1、2、3、4和5，我们将这些角称为多边形的外角。这时我们试着用剪刀将这些角剪下来，然后将它们围绕着一个顶点A并列地放到一起，如图11所示。那么，请你们记住这一点：不论这个多边形是什么样的形状，不论它有多少条边，这些角总能构成完整的一个圆周，最后一个角总能恰好填充第一个角和倒数第二个角之间的空位，由此各角互相衔接，构成一整个圆周。如果我们以点A为中心画一个圆，那么显而易见，围绕着点A整合构成的这个没有任何间隙的角就环抱成了一个整圆。如图11所示。由此，我们得出，任意多边形的外角和都是360度。
图16假如直线BA慢慢地直立起来，那么锐角将会变大，钝角将会变小。最终，直线BA到达一个完美的垂直点，以直线DC作为基线，既不向左倾斜，也不向右倾斜，如图4所示。也就是说，在这时角BAC和角BAD是相等的。由此我们称BA垂直于DC，这两个相等的角都是直角。一切不垂直的直线都称作斜线。
↓4.圆周、半径、直径、弧、圆周刻度。
对于一个三角形，如果它的其中一个角是直角，那么该三角形是直角三角形。如图17中的三角形ABC，它的角A由两条相互垂直的直线AB和AC构成，因此它的大小是90度。而另外两个角B和角C之和也是90度，由此才能满足三角形三角之和是180度。我们以后要记住，直角三角形的两锐角之和是90度。直角所对应的边BC叫做直角三角形的斜边。
↓2.两条相交直线构成一个开口，不管大也好小也好，都是我们所说的角。两条直线相交的点就是角的顶点，两条直线是角的两条边。比如说，两条直线AB和AC相交于A点，这两条直线相互交叉，发散出去，那么这两条直线中间构成的面就是角，如图1所示。在图1中，点A就是角的顶点，而AB和AC是角的两条边。为了指称一个角，我们在角的两边标出三个字母，表示顶点的字母总是位于中间的。因此角BAC和角CAB是同一个角，但与角ABC则不同。当指称的角非常明确时，我们只要用顶点字母表示角即可，如角A。我们同样还可以在角的开口处标出一个数字，以此来指称角。
↓4.圆规上的一个动点所画出的弧线，我们称为圆周，圆规上另一点是一个定点，我们称为圆心。我们还将圆周称为圆。如图5所示，从圆心到圆周的线段OA，就是半径。很明显，同一个圆存在着无数的半径，所有半径长度都是相等的，因为所有半径的长度都是画出圆周线的这两点之间的距离。在图5中，BC经过圆心，它的两个端点处于圆周上，BC就是圆的直径。直径长是半径长的两倍，直径将圆周分割成两个相等的部分。圆周上的任意一部分叫做弧，如弧HK。
↓8.不同类别的三角形、直角三角形的两锐角之和。
图14直线的性质是没有端点，因为我们总是可以无限延伸它。因此角的大小不取决于边的长度，边既可以是长的，也可以是短的，这并不重要，除非两条直线之间的倾斜度变了：角的大小只取决于两条线的倾斜度。如图2所示，角BAC和角HDK，当它们两边的倾斜度相等时，则两角相等，不管它们各自两边的长度是多少。毕竟，角BAC的两边可以延伸到与角HDK的两边长度相等，甚至超过它们，这点是不可否认的，因为直线没有端点，图形中的直线都可以无限延伸。
圆的度数并不以米作为计量单位，圆的度数所指的是整个圆上的一段弧。比如说，我们说90度的一个弧，指的是三百六十等份的圆周中的九十份，或说圆周的四分之一。圆的度数与长度没有任何关系。圆弧可长可短，这取决于它所在圆的圆周长的大小，但它的度数大小却可以保持不变。如图6所示，图中有三个同心圆，圆心是O。我们通过圆心O作两条直线AB和DC，使这两条直线垂直相交，即直线AB和DC互相垂直。这样，这三个圆都被分成四等份。这样我们看到，弧AC、HK和VP，它们尽管长度不同，但度数却相同，都是90度，因为它们都是所在圆周长的四分之一。
↓5.量角器、角的测量、经纬仪。
↓7.三角形、三角形的三角之和、实验与理论证明。
我们关于基础几何学的学习就到此结束。我们用这些基础的概念来做什么呢？——用来测量地球。
图11↓7.三角形是最简单的多边形：它只有三条边。尽管简单，它却和最复杂的多边形一样，具有刚才我告诉你们的普遍特性，即外角之和等于360度。我们可以由此推演出三角形的一个特性，这一点对于我们将来的学习特别有用。下面我们来具体讲述。
图2↓6.多边形的外角和、实验与理论证明。
